线性回归

习题预习

1. 什么是线性回归模型？
2. 如何将一个简单线性模型转换为多元线性模型？
3. 如何评估线性回归模型的效果？有哪些常用的评估指标？
4. 在线性回归中，如何处理过拟合和欠拟合的情况？
5. 在线性回归中，如何进行特征选择和特征工程，以提高模型的预测能力？

说明知识

Linear Regression是一种统计学上常见的方法，用来探讨两个数据之间的关系。该方法主要是透过对一组已知数据进行统计分析，然后推算出一个线性方程，从而预测或估算出其他数据。

举例如下，假设我们想要研究一个人的体重与身高之间的关系。我们收集了10位男性的身高与体重资料，如下表所示：

身高(cm) | 体重(kg)
168 | 65
175 | 72
169 | 63
179 | 75
171 | 65
160 | 52
165 | 62
181 | 83
175 | 70
182 | 80

接着，我们可以使用Linear Regression的方法来求得以下的线性方程：

体重 = 0.48 × 身高 + 5.20

这个线性方程表示了身高和体重之间的线性关系。例如若某人身高为170cm，可预估其体重为0.48 × 170 + 5.20 ≒ 83kg。因此，我们便可以透过这个线性方程来对其他人的体重做出预测。

条列重点

1. 线性回归是一种建立变量之间线性关系的统计方法。
2. 统计学上有许多种不同的线性回归方法，如简单线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
3. 简单线性回归是基于一个自变量和一个因变量之间的线性关系模型进行建模，而多元线性回归则是用于建立多个自变量和一个因变量之间的线性模型。
4. 线性回归模型的核心是搭建一个合适的回归方程，利用数据进行参数估计，评估模型的可靠性和实用性。
5. 在线性回归中，回归方程的定义形式是y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bn*xn，其中y是因变量，x1-xn是自变量，b0-bn是回归方程的参数。
6. 线性回归模型建构过程中，主要是通过测量回归方程中各个自变量和因变量之间的线性关系来确定回归方程的参数。
7. 线性回归模型在实际应用中的常见问题包括：共线性问题、过拟合问题、模型的选择等。

知识测验

1. 你的公司想要預測一個新產品在市場上的銷售量。從過去的銷售資料中，你已經獲得了產品價格、產品特徵、以及每天出售的單位數的資料。現在，你需要建構一個簡單線性迴歸模型，預測新產品在市場上的銷售量。

答案: 利用簡單線性迴歸模型，以產品價格和產品特徵作為自變數，單位數作為應變數，進行回歸分析，得到回歸方程式，即可預測新產品的銷售量。

2. 一所學校想要預測學生的GPA成績。根據過去的學生資料，已經收集到學生的性別、年齡、家庭背景、學科成績等資訊。現在，你需要建立一個多元線性迴歸模型，預測學生的GPA成績。

答案: 利用多元線性迴歸模型，以學生的性別、年齡、家庭背景、學科成績作為自變數，GPA成績作為應變數，進行回歸分析，得到回歸方程式，即可預測學生的GPA成績。

3. 你的公司想要預測房價。已經收集了房屋的大小、地段、設施、交通等資訊。現在，你需要建立一個多元線性迴歸模型，預測房價。

答案: 利用多元線性迴歸模型，以房屋的大小、地段、設施、交通等資訊作為自變數，房價作為應變數，進行回歸分析，得到回歸方程式，即可預測房價。

4. 一個公司想要預測員工的薪水。已經收集了員工的學歷、工作年限、職務、績效等資訊。現在，你需要建立一個多元線性迴歸模型，預測員工的薪水。

答案: 利用多元線性迴歸模型，以員工的學歷、工作年限、職務、績效等資訊作為自變數，薪水作為應變數，進行回歸分析，得到回歸方程式，即可預測員工的薪水。

5. 一個銀行想要預測客戶的貸款風險。已經有了客戶的信用記錄、資產、婚姻狀況等資訊。現在，你需要建立一個邏輯迴歸模型，預測客戶的貸款風險。

答案: 利用邏輯迴歸模型，以客戶的信用記錄、資產、婚姻狀況等資訊作為自變數，貸款風險作為應變數，進行回歸分析，得到回歸方程式，即可預測客戶的貸款風險。