多项式回归

习题预习

1. 什么是多项式回归？它如何与线性回归不同？
2. 多项式回归中，如何选择最合适的多项式次数？
3. 多项式回归中，如何进行模型的评估和验证？
4. 多项式回归的优点和缺点分别是什么？
5. 如何在Python中实现多项式回归？

说明知识

多项式回归 (Polynomial Regression) 是一个利用多项式进行回归分析的方法。在进行线性回归时，常常会遇到一些资料不符合线性关系的情况，这时就可以采用多项式回归来进行分析。

多项式回归的基本概念是将自变量 $x$ 进行多次方项的拓展，例如 $x$ 的平方、立方等，然后将这些项作为独立变量进行回归分析。通常，多项式回归所使用的项数可以由资料集的形状和特征来决定。

例如，我们有一组数据，其中自变量 $x$ 和应变量 $y$ 的关系不符合线性关系，如下图所示：

在这种情况下，我们可以使用多项式回归来建立一个多项式方程，以逼近资料的分布情况。在本例中，我们选择二次多项式，使用以下方程来进行回归分析：

$$
y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2
$$

其中 $\beta_0$、$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 分别是模型的截距项和斜率项，以及二次项的系数。

透过这个模型，我们可以得到以下拟合图形：

从图中可以看出，多项式回归模型可以很好地拟合数据集，有效地反映出资料的分布情况。

条列重点

1. 多项式回归是一种机器学习模型，可用来模拟因变量和自变量之间的非线性关系。

2. 多项式回归基于多项式函数进行建模，而不是直线或平面等线性函数。

3. 多项式回归可以用于单变量和多变量情况下的数据建模。

4. 选择最适拟合的多项式次数是多项式回归的一个重要问题，这可以通过验证集和交叉验证等方法来解决。

5. 多项式回归还可以进行正则化来避免过拟合，常用的正则化方法有L1正则化（Lasso）和L2正则化（Ridge）。

6. 多项式回归的主要优点是它提供了更准确和灵活的模型适合性，但它也存在一些缺点，如需更多的计算和数据预处理。

知识测验

1. 有一个资料集，其中包含十笔资料点，资料点的x值为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，y值为3, 6, 10, 14, 20, 23, 26, 28, 30, 33。请使用二次多项式回归来预测x为11时的y值。
   答案：37.47

2. 假设有一笔资料集，其中包含20个资料点，资料点的x值为1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27，y值为3.4, 4.2, 4.9, 5.1, 6.2, 6.5, 7.1, 8.7, 9.2, 9.5, 10.3, 11.2, 12.3, 12.8, 13.1, 14.7, 15.8, 16.5, 17.6, 18.2。请使用三次多项式回归来预测x为28时的y值。
   答案：19.29

3. 假设有一笔资料集，其中包含15个资料点，资料点的x值为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15，y值为3, 4, 7, 9, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24。请使用四次多项式回归来预测x为16时的y值。
   答案：25.97

4. 假设有一笔资料集，其中包含12个资料点，资料点的x值为1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23，y值为8, 11, 14, 17, 19, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 32。请使用五次多项式回归来预测x为25时的y值。
   答案：33.42

5. 假设有一笔资料集，其中包含10个资料点，资料点的x值为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，y值为2, 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21。请使用六次多项式回归来预测x为11时的y值。
   答案：23.22