背包问题（Knapsack Problem）是一个经典的组合优化问题，描述了如何从一个限制好重量和体积的背包中选择最有价值的物品，使得总体积不超过背包的容量。
举例来说，假设有一个容量为10的背包，而且有下列的一些物品：
| 物品 | 重量 | 价值 |
|---|---|---|
| 物品1 | 3 | 4 |
| 物品2 | 4 | 5 |
| 物品3 | 2 | 3 |
| 物品4 | 1 | 2 |
| 物品5 | 5 | 6 |
现在你需要从这些物品中选择出一些物品，放进背包中，使得它们的总重量不超过10，且它们的总价值要最大。设每个物品放或不放的状态为1或0，则可列出下列的决策矩阵：
| 物品 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 重量 | 3 | 4 | 2 | 1 | 5 |
| 价值 | 4 | 5 | 3 | 2 | 6 |
接着可以使用动态规划的方法来解决这个问题。设f(i, j)为在前i个物品中选择，且总重量不超过j的情况下，可以得到的最大价值。则可以得到下列的转移方程：
f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i-1, j-w[i])+v[i])，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值
最后，f(5, 10)即为答案，代表在这些物品中选出一些物品，可以得到的最大价值是18。
总括来说，背包问题是一种经典的组合优化问题，涉及到如何从多个物品中选择部分物品，并且使得它们的总体积或总重量不超过限制，同时总价值或总收益最大的问题。
定义：Knapsack Problem是一种最佳化问题，其目标是将限制容量的背包装满，同时维持最大总价值。
公式：knap(W, wt[], val[], n)表示在容量W下，从n个物品中选出最优组合，其中wt[]和val[]分别代表物品重量和价值。
算法：常见解决Knapsack Problem的算法有动态规划、贪心算法、分支定界算法等。
特点：Knapsack Problem的特点是NP完全问题，即算法解决困难度高，因此需要使用有效的求解方法。
应用：Knapsack Problem广泛应用于背包选择、投资组合优化、资源分配等领域。
有一个背包可容纳重量为W的物品。现在有n件物品，每件物品的重量为wi，价值为vi。请问能够放入背包的物品中，总价值最大是多少？
答案：经典的0/1背包问题
有一个背包可容纳重量为W的物品。现在有n件物品，每件物品的重量为wi，价值为vi，但是每件物品只能使用一定次数。请问能够放入背包的物品中，总价值最大是多少？
答案：有限制的01背包问题
有一个背包可容纳重量为W的物品。现在有n件物品，每件物品的重量为wi，价值为vi，但是被放入背包后每件物品的价值会随时间推移而下降，下降的速率与时间有关，每单位时间价值下降d元。请问如何放置物品，使得背包内物品总价值的下降速率最小？
答案：附带下降价值的背包问题
有一个背包可容纳重量为W的物品。现在有n件物品，每件物品有两个参数，重量wi和价值vi，且重量和价值均为整数。现在要求选择若干件物品放入背包中，使得满足以下条件：