集合覆盖

习题预习

1. 假设有一个城市，里面有5个公园，需要在这些公园周围设置照明设施，如何选择最少的照明点，使得每个公园都有充足的照明？
2. 一间公司需要选择广告平台以宣传其产品，可选择的平台有10种，但每个平台价格不同，如何选择最少的平台，以覆盖所有潜在客户？
3. 一个医院需要选择哪些人员参加一个紧急的灯火紧急计划，以下是几种人员选择方案，如何选择最少的方案以确保所有可能的应急情况都得到适当的应对？
4. 一个农夫有一块大田地，需要选择哪些作物种植，以达到最大的收益，可种植的作物包括小麦、玉米、豆类等，但每种作物的种植面积有限，且每种作物的投入和产出不同。
5. 一个零售商需要选择哪些产品摆放在店面陈列柜里以吸引顾客，可选择的产品有50种，但每种产品的销售量和利润不同，如何选择最少的产品，以最大化销售额和利润？

说明知识

Set Cover是一个组合优化问题，目标是在一组集合中，找到最小的子集，使得这些子集的联集可以包括所有元素。

例如，假设有以下三个集合：

A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6}
C = {3, 5}

我们可以选择两个子集：{A, C}或{B, C}，这些子集的联集都可以涵盖所有的元素。因此，这是一个Set Cover问题。

在这个问题中，我们希望找到包含所有元素的最小子集。例如，在这个例子中，解决方案可能是{A, C}，因为它只需要两个集合来覆盖所有的元素。

Set Cover问题在实际应用中广泛使用，例如在计算机科学、运输规划、慈善捐赠等领域。解决Set Cover问题的算法包括贪婪算法、动态规划和整数线性规划等。

条列重点

1. Set Cover 是一个组合优化问题，目的是在一群集合中找到最少的集合，使得它们的联集包含所有元素。
2. Set Cover 经常被用来描述许多现实世界的问题，如旅行商问题、杂草清除、广告投放等。
3. Set Cover 的简单贪心算法是一个有效的近似解法，它的解答可以在多项式时间内求得。
4. Set Cover 是一个NP-hard问题，因此没有已知的快速解决方案。
5. 为了解决 Set Cover，可以使用近似算法、精确算法、随机算法等。
6. Set Cover 和其他组合优化问题经常在计算机科学和操作研究中被学习和应用。

知识测验

1. 有一组数字{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，现在你需要从中选择一些数字并将其加起来，让总和正好等于20，问最少需要选几个数字？

答案： 2（选7和13）

2. 有一个城市需要修建公路，城市中有n个区域，每个区域都需要覆盖一条公路，现在已知每条公路所需的花费，且每条公路只能由一个承包商负责修建，问最少需要选择几个承包商才能完成全部公路的修建？

答案：无法确定，需要给定区域数量、公路花费和其他限制条件才能给出答案。

3. 有一个机器人需要完成多个任务，每个任务耗时不同，机器人移动到不同任务需要消耗不同的能量，现在需要确定最小能量消耗的路线，使得所有的任务都能够成功完成，并且在完成所有任务后回到起点，问最小需要消耗多少能量才能完成所有任务？

答案：无法确定，需要给定任务耗时、机器人移动能量消耗与路线限制条件才能给出答案。

4. 有一个有向图，图上有n个点，m条边，现在需要从起点走到终点，并且路径上所经过的点与边都需要覆盖到，问最少需要经过几条边才能从起点走到终点？

答案：无法确定，需要给定图上的起点、终点、边与节点覆盖限制条件才能给出答案。

5. 有一个商店需要停售一些货品，现在已知每件货品的利润和被停售对应的损失，且每件货品只能被停售一次，问最少需要停售多少个货品才能获得最大利润？

答案：无法确定，需要给定货品利润、损失和其他限制条件才能给出答案。