旅行商问题

习题预习

1. 在一个城市之间有多少种最短路径？
2. 如何寻找一个旅行商所需的最短路径去访问一组城市？
3. 如何最小化旅行商所需的时间、距离或成本？
4. 如何在最小的行驶路线中包含一个指定的城市？
5. 如果有一个城市是不可达的，如何找到一个最短路径的替代方案？

说明知识

旅行商问题（Traveling Salesman Problem）是一种经典的问题，在计算机科学和运筹学等领域中被广泛应用。该问题的基础是给定一个包含多个城市的地图，旅行商需要从起点出发，经过每个城市且只经过一次，最终回到起点。问题是找到一个最短的路径，使得旅行商的路程最短。

例如，在下图中，旅行商需要从城市A出发，经过所有城市只经过一次，最终回到城市A。蓝色的线表示一条可能的路径，但是不是最短的路径。

这个问题的难点在于随着城市数量增加，可能的路径数量会急剧增加，计算最优解需要高度的计算能力。因此，许多算法已经被开发出来，以解决Traveling Salesman Problem。

常用算法包括贪心算法、动态规划、旅行商模拟退火算法、遗传算法等。这些算法以不同的方式进行经过城市的组合计算，并试图找到一个最短的路径。

总之，Traveling Salesman Problem 是一个经典的问题，在现实生活中有许多应用，例如路线规划、货物运输和旅游规划等。

条列重点

1. 定义：旅行推销员问题（TSP）是一种在旅行商找到一个经过所有指定城市的最短路径的问题，并且确保最终访问的城市必须与起点城市相同。

2. 广泛应用：TSP被广泛应用于运输、电信、制造、软体和设计等业务领域，以帮助优化路径和减少成本。

3. NP-hard问题：TSP被证明是NP-hard问题，即对于一组大型问题，找到最优解需要指数时间。

4. 问题的变体：TSP的变体包括多旅行商问题、机器人路径问题、最小权重汉密尔顿路径问题等。

5. 解决方法：解决TSP的方法包括动态规划、贪心算法、人工智能算法等。

6. 问题限制：TSP中的限制包括规划城市路线中的节点数、城市之间的距离和路径形状等。

7. 目标函数：TSP中的目标函数是最小化访问所有城市所需的总路径长度或时间，以获得最佳路线。

8. 算法评估：评估算法的方法包括时间复杂度、空间复杂度、精度和可靠性等。

9. 可视化：TSP的解决方法可以以图形方式呈现，以便更好地理解路径和可视化结果。

10. 现实应用：TSP在现实中的应用包括交通路线优化、物流配送、无人机路径规划等。

知识测验

1. 有一个业务员需要走访4个城市，他必须从A出发，每个城市只能拜访一次，且返回A的路线必须最短。每个城市的路程如下：

A到B：5
A到C：2
A到D：6
B到C：1
B到D：3
C到D：8

答案：A->B->C->D->A，总路程为16

2. 有一个业务员需要走访5个城市，他必须从A出发，每个城市只能拜访一次，且返回A的路线必须最短。每个城市的路程如下：

A到B：1
A到C：2
A到D：3
A到E：4
B到C：3
B到D：4
B到E：5
C到D：5
C到E：6
D到E：7

答案：A->B->C->D->E->A，总路程为16

3. 有一个业务员需要走访6个城市，他必须从A出发，每个城市只能拜访一次，且返回A的路线必须最短。每个城市的路程如下：

A到B：3
A到C：1
A到D：5
A到E：8
A到F：2
B到C：6
B到D：7
B到E：2
B到F：4
C到D：9
C到E：3
C到F：5
D到E：4
D到F：6
E到F：7

答案：A->F->C->B->E->D->A，总路程为29

4. 有一个业务员需要走访7个城市，他必须从A出发，每个城市只能拜访一次，且返回A的路线必须最短。每个城市的路程如下：

A到B：2
A到C：5
A到D：6
A到E：1
A到F：3
A到G：4
B到C：3
B到D：2
B到E：4
B到F：8
B到G：7
C到D：3
C到E：6
C到F：1
C到G：5
D到E：7
D到F：2
D到G：8
E到F：9
E到G：2
F到G：4

答案：A->F->C->G->E->D->B->A，总路程为29

5. 有一个业务员需要走访8个城市，他必须从A出发，每个城市只能拜访一次，且返回A的路线必须最短。每个城市的路程如下：

A到B：6
A到C：5
A到D：3
A到E：3
A到F：6
A到G：8
A到H：6
B到C：7
B到D：6
B到E：5
B到F：8
B到G：9
B到H：7
C到D：8
C到E：2
C到F：2
C到G：9
C到H：10
D到E：3
D到F：3
D到G：11
D到H：1
E到F：4
E到G：7
E到H：2
F到G：10
F到H：8
G到H：9

答案：A->D->E->H->C->B->F->G->A，总路程为34