动态图演算法

习题预习

1. 给定一个动态图，请实现一个动态联通性查询算法。
2. 设计一个动态最短路算法，实现对图形中的加权边进行动态更新。
3. 设计一个动态流算法，用于保持图形中两个点之间的最大流量。
4. 实现一个算法，用于动态维护图形中的最小生成树，并快速回答任意边权重的更改和查询最小权重生成树。
5. 设计一个动态匹配算法，用于在图形中维护最大匹配并支持边权重的动态更新。

说明知识

Dynamic Graph Algorithms是指在一个动态图上执行的演算法，随着时间的流逝，图的结构会随之改变。因此，Dynamic Graph Algorithms需要能够处理图上的增量和减量操作（例如：添加或删除边）。

以下是一些Dynamic Graph Algorithms的例子：

1. 最短路径演算法（Dijkstra Algorithm）：当添加或删除一条边时，都会影响图上所有点到某一起点的最短路径。因此需要更新相关路径上的权重信息。

2. 最大流问题演算法（Ford-Fulkerson Algorithm）：当添加或删除一条边时，也会影响图的最大流量，因此需要更新图上的流量信息。

3. 动态图的连通性问题（Dynamic Connectivity Problem）：当添加或删除一条边时，有些点或点集可能不再相连通。因此需要及时更新图上的连通性。

4. 局部图范围的问题，如最大匹配问题（Maximal Matching Problem）：当添加或删除一条边时，仅需从其中一个点出发进行更新即可，不必重新输入所有节点和边。

总之，Dynamic Graph Algorithms是在运用优秀的算法进行计算的同时，对一个正在更新中的讯息环境进行合理的维护，是亮点和风险的平衡。

条列重点

1. 动态图的定义：动态图是一个不断变化的图，其顶点和边可以随时被加入或删除。
2. 动态图算法的目标：维护图的某些属性，如最短路径、连通性、最小生成树等，当图的拓扑结构发生改变时，能够快速更新这些属性。
3. 动态图算法的基本思想：在图的变化过程中，只更新被影响的部分，而不是对整个图进行重新计算。
4. 动态图算法的主要技术：使用增量式算法和分治策略。
5. 动态图算法的主要应用领域：社交网络分析、路径规划、交通流控制、基因组学、电力网络管理等。
6. 动态图算法的一些具体例子：动态最小生成树、动态最短路径、动态连通性、动态直径、动态双连通份量等。
7. 动态图算法的挑战与未来：巨大的图、高效的实现和精确的评估是未来的挑战，另外，随着智能城市和物联网的发展，动态图算法的应用领域还会不断扩展。

知识测验

1. 最小生成树最大值：给定一个无向加权图，求出最小生成树中最大权值的边。

答案：Kruskal算法

2. 矩阵乘法：给定两个矩阵，求它们的乘积。

答案：Strassen算法

3. 判断图是否二分图：给定一个无向图，判断它是否是二分图。

答案：BFS颜色填色

4. 计算最长路径：给定一个有向加权图，计算出从一个起点到终点的最长路径。

答案：Bellman-Ford算法

5. 计算全源最短路径：给定一个有向加权图，计算出任意两点之间的最短路径。

答案：Floyd算法