图形演算法

习题预习

1. 给定一张有向图，求从一个顶点出发的最短路径，并给出路径。
2. 给定一无向图和一个权值函数，求图中的最小生成树。
3. 给定一张有向图，求其中是否存在环路，如果存在，请列出一个环路。
4. 给定一张有权值的图，求从一个顶点出发到达另一个指定顶点的最短路径。
5. 给定一张图和一个权值函数，求从一个顶点出发到达另一个指定顶点的最短路径，但限制通过的边的权值总和不能超过一个给定值。

说明知识

Graph Algorithms是指一类用于理解和处理图数据结构的算法。图由“节点”和“边”组成，通常用于表示实际问题中的关系和互动。

以下是Graph Algorithms的一些例子：

1. 最短路径算法：用于查找两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法。

2. 图遍历算法：用于访问图中的所有节点，其中最常见的算法是深度优先搜索和广度优先搜索。

3. 最小生成树算法：用于找到连接图中所有节点的最小的树，其中最常见的算法是Prim和Kruskal算法。

4. 最大流算法：在有向图中找到流量最大的路径，其中最常见的算法是Ford-Fulkerson算法。

5. 社区挖掘算法：用于查找图中存在的社区结构，其中最常见的算法是谱聚类和模块性最优化。

这些算法可以应用于许多实际问题，例如：

1. 在地图上找到最短的驾驶路线。

2. 在社交网络中查找具有相似兴趣爱好的用户。

3. 识别基因组中的蛋白质互作。

4. 在通信网络中找到最大的带宽。

5. 查找网络中恶意攻击的源头。

条列重点

以下是 Graph Algorithms 的重点：

1. 搜寻演算法：寻找图形中的连通性、最短路径或最小生成树等。

2. 深度优先搜寻（DFS）：一种遍历图形的方式，探索所有可访问节点，并访问每个节点的儿子，直到到达叶子节点。

3. 广度优先搜寻（BFS）：一种遍历图形的方式，按层探索所有可访问节点。在找到目的节点的最短路径方面很有用。

4. 最短路径算法：计算图形中的最短路径，例如 Dijkstra、Bellman-Ford 和 A* 等。

5. 最小生成树：找到一棵包含图形所有节点的最小连通子图，例如 Kruskal 和 Prim 等。

6. 拓扑排序：按照先后关系顺序排序图形中的节点，例如 Kahn 算法。

7. 强连通性：可互相到达的节点被称为强连通。两个不同的图形算法 Dijkstra 和 Floyd-Warshall 都可以用来计算强连通性。

8. 最大流：在两个节点之间找到能够移动最多数量的货物的路径，例如 Ford-Fulkerson 算法。

9. 图形颜色：将图形中每个节点着色，使相邻节点不具有相同颜色，例如演算法定义。

10. 反转边：在图形中转换边的方向，例如 Kosaraju 算法。

知识测验

1. 给定一个无向图，找到最小生成树的权重。

答案：Prim’s algorithm 或 Kruskal’s algorithm。

2. 给定一个无向图和其中的一个顶点，找到从该顶点到所有其他顶点的最短路径。

答案：Dijkstra’s algorithm 或 Bellman-Ford algorithm。

3. 给定一个有向图，判断其中是否存在一个环。

答案：Topological Sorting 或 Floyd Warshall algorithm。

4. 给定一个有向图和其中的两个顶点，找到从起点到终点的所有路径中权重最大的路径。

答案：DAG Shortest Path algorithm 或 Bellman-Ford algorithm。

5. 给定一个有向图和其中的一个顶点，找到从该顶点开始的所有强连通分量。

答案：Tarjan’s algorithm 或 Kosaraju’s algorithm。