最短路径演算法

习题预习

1. 什么是Shortest Path Algorithms？该算法如何找到两点之间的最短路径？

2. Dijkstra’s Algorithm 与 Bellman-Ford Algorithm 的不同点是什么？它们如何在实际应用中使用？

3. A* Algorithm 对于搜寻详细的路径规划与运输系统有何优势？它是如何运作的？

4. Floyd-Warshall Algorithm 可以处理带有负权重的图，但是可能会造成什么问题？有什么解决办法？

5. 在使用Shortest Path Algorithms时，如何评估图的复杂度？您如何选择最佳的算法来解决问题？

说明知识

Shortest Path Algorithms 是一种常用的图论算法，用于在图论中，找出一个特定起点与终点之间的最短路径。这种算法主要应用于路径导航、交通运输等方面。以下是三种常用的 Shortest Path Algorithms:

1. Dijkstra 算法
   Dijkstra 算法是一种贪心算法，通过选择当前节点到起始节点距离最短的节点，来逐步构造最短路径。它的时间复杂度与图中边的数量有关，通常为 $O(|E| + |V|\log|V|)$。

举例：在一张地图中，我们需要从 A 点出发，前往 B 点，请问最短路径是哪条？

通过 Dijkstra 算法，我们可以得到 A - C - D - B 这条路径，其长度为 10。

2. Bellman-Ford 算法
   Bellman-Ford 算法也是一种动态规划算法，通过对图中所有边进行 V - 1 次松弛操作，来找到最短路径。它的时间复杂度为 $O(|V||E|)$。

举例：在一张地图中，我们需要从 A 点出发，前往 B 点，请问最短路径是哪条？

通过 Bellman-Ford 算法，我们可以得到 A - C - B 这条路径，其长度为 6。

3. Floyd-Warshall 算法
   Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法，用于解决所有节点之间的最短路径问题。它的时间复杂度为 $O(|V|^3)$。

举例：在一张地图中，我们需要找到所有节点之间的最短路径。

通过 Floyd-Warshall 算法，我们可以得到下面的最短路径矩阵：

0 3 8 1
INF 0 INF 2
INF 4 0 INF
INF INF 5 0

其中，INF 表示无限大。例如，第一列中的数字 0，3，8，1 分别表示从 A 点到 A 点的距离为 0，A 点到 B 点的距离为 3，以此类推。

条列重点

1. 最短路径算法是一种计算最短路径的演算法。
2. Dijkstra算法是一种贪心算法，用于计算无向加权图中的最短路径。
3. Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于计算有向加权图中的最短路径。
4. Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算有向加权图中的所有顶点对之间的最短路径。
5. A*算法是一种启发式算法，用于计算带权有向图中的最短路径。它使用了估计函数来帮助找到最短路径。
6. 最短路径算法可应用于许多问题中，例如交通路网、电信网路、排程等。

知识测验

1. 在一个带权有向图中，从给定源节点到达所有其他节点的最短路径问题被称为什么？

答案：单源最短路径问题

2. 在Dijkstra算法中，当我们更新某个节点的最短距离，我们还需要更新什么？

答案：我们同样需要更新它所有的邻居节点的最短距离

3. 若在一个带权有向图中，从源节点到终点的所有最短路径都具有相同权值，我们称该图为什么？

答案：单一权重最短路径问题

4. 在Floyd-Warshall算法中，什么条件下我们会更新两个节点之间的最短路径？

答案：当透过其他节点前往这两个节点的路径比直接从源节点到达这两个节点的路径更短时，我们可以更新这条路径

5. 当有负权边存在于一个图中，Bellman-Ford算法还能够确定最短路径吗？

答案：是的，Bellman-Ford算法依然能够确定最短路径，但需要增加一个检测负权环的步骤，以避免出现无限循环。