矩阵乘法

习题预习

1. 请问何谓矩阵相乘？为什么要进行矩阵相乘？
2. 两个矩阵A和B若可以相乘，其乘积AB的每个元素如何计算？
3. 矩阵相乘时，应该注意哪些规则？
4. 矩阵相乘有什么应用？举例说明。
5. 矩阵相乘的时间复杂度是多少？如何优化？

说明知识

矩阵乘法 (Matrix Multiplication) 是一种数学运算，用于将两个矩阵进行运算得到一个新的矩阵。矩阵乘法的步骤如下：

1. 确认两个矩阵相乘时是否符合维度要求，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
2. 从第一个矩阵中选取一行，从第二个矩阵中选取一列，将两者对应位置的数字相乘，得到新的矩阵中的一个元素。
3. 重复步骤2，直到得到新矩阵的所有元素。

例如，若有以下两个矩阵：

矩阵A:
[ 1, 2 ]
[ 3, 4 ]

矩阵B:
[ 5, 6 ]
[ 7, 8 ]

则 A 与 B 的乘积可表示为：
[ 15 + 27, 16 + 28 ]
[ 35 + 47, 36 + 48 ]

即：
[ 19, 22 ]
[ 43, 50 ]

条列重点

1. 矩阵乘法是线性代数中的基本运算，用于将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
2. 矩阵乘法必须满足两个矩阵的维度匹配：左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
3. 矩阵乘法的结果矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。
4. 矩阵乘法的运算次序不可交换，即 AB≠BA。
5. 矩阵乘法适用于许多应用场景，如图像处理、机器学习、网络分析等。

知识测验

1. 矩阵A的大小为20x30，矩阵B的大小为30x40，试求A和B的乘积。
   答案：矩阵C的大小为20x40。

2. 矩阵A的大小为3x3，矩阵B的大小为3x2，试求A和B的乘积。
   答案：矩阵C的大小为3x2。

3. 矩阵A的大小为5x5，矩阵B的大小为5x5，试求矩阵A和B的平方。
   答案：矩阵C的大小为5x5。

4. 矩阵A的大小为4x3，矩阵B的大小为3x2，试求A和B的乘积。
   答案：矩阵C的大小为4x2。

5. 矩阵A的大小为2x4，矩阵B的大小为4x6，试求A和B的乘积。
   答案：矩阵C的大小为2x6。