随机算法

习题预习

1. 对于一个有向图，如何用randomized算法找到一条最短路径？
2. 在一个有$n$个元素的无序列表中，如何使用randomized算法在$O(\log n)$时间内找到一个元素的排名？
3. 如何使用randomized算法找到一个未知数的二元一次方程（$ax+by=c$）的解?
4. 变量$X$是一个介于$[0,1]$之间的随机数，如何使用randomized算法生成一个均匀分布的自然数$k$，使$X$能够均匀地被分为$k$个区间？
5. 在一个完全二叉树中，如何使用randomized算法找到一个节点的深度？

说明知识

随机化演算法（Randomized Algorithms）是利用随机变量作为输入或内部挑选，通过随机机制来解决问题的演算法。与传统的演算法相比，随机化演算法通常具有更快的执行时间和更好的效果。

以下是一些随机化演算法的例子：

1. 快速排序（QuickSort）：快速排序是一种常见的排序算法，通常使用随机选择pivot的方式将数列分割成更小的片段，进一步进行快速排序。这样能够使排序更加均衡和高效，避免了最坏情况下的时间复杂度。

2. 随机选择算法（Randomized Selection）：随机选择算法是在无序数列中挑选第k小（或第k大）的元素，使用随机选择pivot的方式分割数列，进行递归比较，直到找到目标元素。这种算法在选择数据中的某一部分时极其有效。

3. 集合盖问题算法（Set Cover Problem）：集合盖问题是在一定条件下，寻找最少的覆盖物来覆盖所有元素的问题。随机化演算法可以通过随机生成较少的子集，从而减少比较的次数，实现更快的计算和更好的结果。

以上是一些随机化演算法的例子，但随机化演算法的应用非常广泛，可用于最优化问题、图形测试、机器学习等领域。

条列重点

1. 随机化：Randomized Algorithms使用随机元素，例如随机数、乱数选择等，来使得算法得到更好的表现。

2. 机率分析：Randomized Algorithms在分析运行时间等结果时，考虑的是机率分析，而非确定性分析，通常会使用期望值等概率量度。

3. 随机搜寻：Randomized Algorithms通常使用随机搜寻的方式找到解决问题的最优解，例如随机选择点、随机排序等。

4. 可靠性：Randomized Algorithms往往可以提供较高的可靠性，例如随机搜寻算法可以避免落入局部最优解的情况。

5. 优化：Randomized Algorithms可以优化算法的表现，例如快速排序算法中的随机选择主元素可以提高算法的效率。

6. 应用广泛：Randomized Algorithms广泛应用于各种领域，例如图形算法、最优化算法、通讯协议等。

知识测验

1. 什么是Monte Carlo算法？请举个例子。

答案：Monte Carlo算法是一种概率算法，根据随机选择的样本来进行求解。例如，一个Monte Carlo算法可以被用来近似计算圆周率。

2. 什么是Las Vegas算法？请举个例子。

答案：Las Vegas算法和Monte Carlo算法相似，但是它保证算法的结果是正确的，只是时间或空间复杂度可能有所浪费。例如， QuickSort是一个经典的 Las Vegas算法。

3. 快速幂算法是什么？请描述其时间复杂度。

答案：快速幂算法是一种用于计算数字的幂次方的算法。 它通过二进制位运算达到了O(log n)的时间复杂度。

4. 定义一个概率分布，用于产生在[0,1]范围内均匀分布的随机实数。

答案：使用标准均匀分布产生随机实数。这意味着我们从[0,1]中的每个可能值选取一个随机数。

5. 定义一个概率分布，用于产生负二项分布的随机变量。

答案：产生负二项分布的随机变量的概率分布是：$P(X=k)= {{k+r-1} \choose {k}} p^k (1-p)^r$，其中，k是需要得到的特定数量的成功，p是每次试验成功的概率，r是必须进行的试验的总次数。