随机快速排序

习题预习

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给我5题Randomized Quicksort的中文问题

ChatGPT answer:
  1. 如何选择一个pivot元素?
  2. 在最坏情况下,Randomized Quicksort的时间复杂度是多少?
  3. 如何实现Randomized Quicksort?是否可以使用递回?
  4. 在实现Randomized Quicksort时,如何确定数据是否已经排好序?
  5. Randomized Quicksort是否能够处理包含相同元素的数据?如果不能,该怎么处理?

说明知识

User ask:
以中文说明Randomized Quicksort并举例

ChatGPT answer:

Randomized Quicksort是快速排序算法的一种变体,它与原始快速排序算法的区别在于,它使用随机数来选择主元素(pivot),从而尽可能避免了最坏情况。在原始的快速排序算法中,选择的主元素可能会导致分割的子序列不平衡,进而导致算法的时间复杂度退化为O(n2);而随机化的选择主元素,则能够尽可能保持分割的子序列平衡,从而保证算法的时间复杂度为O(n log n)。

以下是Randomized Quicksort的实现步骤:

  1. 选取一个元素作为主元素(pivot),可以随机选取其中一个元素。
  2. 扫瞄整个序列,将比pivot小的元素放到左边,比pivot大的元素放到右边,相等的元素放到任意一边(一般为左边)。
  3. 递归排序左右两个子序列。

以下为Randomized Quicksort的示例代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

void randomized_quicksort(int arr[], int left, int right);

int main(void) {
    int arr[] = {3, 5, 2, 1, 4};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    randomized_quicksort(arr, 0, n - 1);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

void randomized_quicksort(int arr[], int left, int right) {
    if(left >= right) {
        return;
    }
    int p = rand() % (right - left + 1) + left;
    int pivot = arr[p];
    int i = left;
    int j = right;
    while(i <= j) {
        while(arr[i] < pivot) {
            i++;
        }
        while(arr[j] > pivot) {
            j--;
        }
        if(i <= j) {
            int temp = arr[i];
            arr[i] = arr[j];
            arr[j] = temp;
            i++;
            j--;
        }
    }
    randomized_quicksort(arr, left, j);
    randomized_quicksort(arr, i, right);
}

在上面的示例代码中,我们随机选取一个元素作为主元素(pivot),并通过while循环将比pivot小的元素放到左边,比pivot大的元素放到右边,然后递归的对左右两个子序列进行排序。程序的输出结果为:

1 2 3 4 5

可以看到,我们使用Randomized Quicksort算法成功地将序列从小到大排序了。

条列重点

User ask:
以中文条列Randomized Quicksort的重点

ChatGPT answer:

以下是Randomized Quicksort的重点:

  1. 快速排序是一种具有高效率的排序演算法,而 Randomized Quicksort 是在快速排序的基础上改进的演算法。

  2. Randomized Quicksort 将 pivot 选择从固定位置改变成随机位置,透过乱数产生 pivot,让一开始选取的 pivot 位置不会对其效率有太大的影响。

  3. 一开始先将数列分成三个部分,分别为小于 pivot、等于 pivot 和大于 pivot 的部分。然后将小于 pivot 和大于 pivot 的部分再各自选定一个 pivot,继续进行分区。

  4. Randomized Quicksort 的时间复杂度平均为 O(nlogn),最坏为 O(n^2)。

  5. 在数列已经排好序或者都是相同元素的情况下,有可能会发生效率低落的情况,因此需要定期暂停采用 Randomized Quicksort 来处理排序。

  6. Randomized Quicksort 的实现方式与普通快速排序大同小异,只是在选择 pivot 时需要多加一些随机的因素。

知识测验

User ask:
以中文给我5题Randomized Quicksort的中等难度问题,并在后面列出答案

ChatGPT answer:
  1. 如何避免Randomized Quicksort的最差时间复杂度O(n^2)?请说明原因及解决方法。
    答案:避免最差情况的方法之一是使用新的选择pivot的方法,例如Median of 3或Random Median。此外,也可以使用尾递回或迭代版本,或者实现Randomized Quicksort的随机样本版本,以减少最差情况的概率。

  2. 如何实现Randomized Quicksort的平均时间复杂度?请给出算法的时间复杂度和空间复杂度。
    答案:Randomized Quicksort的平均时间复杂度为O(nlogn),空间复杂度为O(logn)。算法的关键在于随机选择pivot,并使用partition方法将数组分为两个部分。对左侧和右侧的子数组递归地应用相同的算法,直到排序完成。

  3. 如何在Randomized Quicksort中实现重复元素的处理?请说明原因及解决方法。
    答案:在Randomized Quicksort中,如果数组中存在大量重复元素,则可能导致一些情况下的最坏时间复杂度。解决此问题的一种方法是使用三向切分快速排序,将数组分为三个部分(小于、等于和大于pivot)。这样可以避免重复元素被反覆交换,在许多情况下可以提高算法的效率。

  4. 如何测试Randomized Quicksort的性能?请单独列出利用实验数据进行性能分析的步骤。
    答案:测试Randomized Quicksort的性能可以进行以下步骤:
    (1)选择数据集:从不同的数据集中选择数据,包括已排序、部分排序或完全随机的数据。
    (2)选择公平的比较方式:比较Randomized Quicksort和其他排序算法,如Merge Sort和Heap Sort。
    (3)记录运行时间:使用编程语言的时间记录功能,记录每次运行算法花费的时间。
    (4)重复运行多次:运行算法多次以获得平均值。
    (5)分析数据:比较不同数据集之间的性能差异,并观察对快速排序的优化效果。

  5. 如何在Randomized Quicksort中实现非递回版?请给出代码实现。
    答案:
    非递回版Randomized Quicksort的主要思路是使用一个栈来模拟递回的运行过程。以下是Python代码:

def quickSort(arr):

# Create an empty stack
stack = []

# Push initial values of l and h to stack
l = 0
h = len(arr) - 1
stack.append((l, h))

# Keep popping from stack while is not empty
while stack:

    # Pop values from stack
    (low, high) = stack.pop()

    # Set pivot element at its correct position
    p = partition(arr, low, high)

    # If there are elements on left side of pivot,
    # push the left side to stack
    if p - 1 > low:
        stack.append((low, p - 1))

    # If there are elements on right side of pivot,
    # push the right side to stack
    if p + 1 < high:
        stack.append((p + 1, high))

# Check the sorted array
return arr

def partition(arr, low, high):
i = low - 1
pivot = arr[high]
for j in range(low, high):
if arr[j] < pivot:
i += 1
arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
arr[i + 1], arr[high] = arr[high], arr[i + 1]
return i + 1

Test

arr = [10, 80, 30, 90, 40, 50, 70]
print(‘Original array:’, arr)

quickSort(arr)
print(‘Sorted array:’, arr)