空间复杂度分析

习题预习

1. 什么是空间复杂度分析？
2. 如何计算算法的空间复杂度？
3. 空间复杂度分析为什么很重要？
4. 什么是常数空间复杂度？
5. 如何减少算法的空间复杂度？

说明知识

Space Complexity Analysis是指对于一个算法，在执行过程中所需要使用的记忆体空间的分析。这是一个重要的术语，因为计算机中的记忆体容量是有限的，如果算法的记忆体空间过多，就可能会导致计算机崩溃或程序出错。

举例来说，假设我们要写一个算法来对一个包含n个元素的阵列进行选择排序。这个算法的时间复杂度是O(n^2)，但在空间复杂度上，我们需要使用一个暂存的变量temp来交换元素的位置，以及一个指针i来执行循环。所以，这个算法的空间复杂度是O(1)，即不会随着问题规模n的增加而增加。

举另一个例子，假设我们要写一个算法来计算一个n x n的矩阵的转置矩阵。这个算法需要先创建一个新的n x n的矩阵，再进行迭代计算。因此，这个算法的空间复杂度是O(n^2)，即当问题规模n增加时，空间复杂度会随之增加。

总之，空间复杂度是分析一个算法的重要方面，因为它可以帮助我们确定该算法在实际应用时所需的系统资源，以及在大规模数据上的运算效能。

条列重点

1. 空间复杂度是什么：空间复杂度是指算法在解决问题时所需要的额外空间大小。

2. 额外空间：额外空间是指在算法执行期间，除了输入本身所占用的空间之外，需要额外申请的空间大小。

3. 判断额外空间大小：需要计算数据结构所占空间大小、递归调用所占空间大小以及程序需要的临时变量所占空间大小。

4. O(1)的空间复杂度：一些算法运行的期间额外使用的空间是不变的，空间复杂度为O(1)。

5. 常见的O(n)的空间复杂度的算法：快速排序、归并排序、堆排序等需要额外申请数组的排序算法，以及图论中的广度优先搜索和深度优先搜索算法。

6. 如何减少空间复杂度：可以采用 in-place 操作，在原来的数据结构上进行修改，避免额外申请空间，或者使用空间占用更小的数据结构来代替原先的数据结构。

7. 空间复杂度的重要性：在实际开发中，空间复杂度与时间复杂度同样重要，因为低空间复杂度可以减少内存的占用，提高程序的运行效率，降低开发成本。

知识测验

1. 给定一个大小为n的整数数组，复制它的内容并占用O(n)的额外空间。在此情况下，输入数组的空间复杂度是多少？
   答: O(n)

2. 评估一个n x n的方阵的空间复杂度，如果每个元素是一个布尔值。
   答: O(n^2)

3. 找出一个排序好的数列中的唯一元素并返回它。可以使用O(1)的额外空间，但不能更改原始数组。
   答: O(1)

4. 有一个m x n的矩阵，它的每个元素只能是0或1。找到最大全为1的正方形的边长。请评估此算法的空间复杂度。
   答: O(n^2)

5. 给定一个大小为n的整数数组，求解数组中唯一的重复元素。可以使用O(1)的额外空间，但不能更改原始数组。
   答: O(1)