Knuth-Morris-Pratt演算法

习题预习

1. 解释Knuth-Morris-Pratt Algorithm是什么，并描述其基本思想。

2. 给定一个文本字符串T和一个模式字符串P，请描述如何使用Knuth-Morris-Pratt Algorithm来查找P在T中的出现。

3. 如何实现Knuth-Morris-Pratt Algorithm的failure function？具体说明这个函数的用途和算法原理。

4. 如果文本字符串T非常长，而模式字符串P在其中出现的次数很少，如何优化Knuth-Morris-Pratt Algorithm以提高查找效率？

5. 考虑在字母表∑中搜索模式字符串P的所有循环位移的问题。请描述如何使用Knuth-Morris-Pratt Algorithm来解决这个问题。

说明知识

Knuth-Morris-Pratt (KMP)算法是解决字符串匹配问题的高效算法之一，用于在主串中查找模式串的匹配位置。

算法思想：

KMP算法的基本思想是不回溯主串指针i，而是通过在模式串中预先构建出一个next[]数组，来记录模式串的自匹配情况。当发生不匹配时，i指针不回溯，只需移动一定距离，这样既能提高匹配效率，又能减少匹配次数。

next[]数组的构建：

next[i]表示在i位置之前的子串中，前缀和后缀最长的匹配长度。例如：P = “ABAB”，在i=3(第四个字符)的时候，前缀是"ABA"，后缀是“BA”，并且两者长度相等，所以next[3]=2。

构建next[]数组的过程可以使用动态规划的思想，通过递推的方式求解。该过程可以大致分为以下几步：

1）next[0] = -1；next[1] = 0；

2）从i=2开始逐一计算，设i-1位置的next值为nextval，则有：

(1)如果P[i-1] == P[nextval]，则next[i] = nextval+1；

(2)如果P[i-1] != P[nextval]且nextval != -1，则需要回退，计算next[P[nextval]]；

(3)如果P[i-1] != P[nextval]且nextval = -1，则next[i]=0；

模式串匹配：

当模式串的next[]数组构建完成后，就可以在主串S中查找模式串P的匹配位置，这个过程相对简单：

1）初始化主串指针i=0，模式串指针j=0；

2）如果S[i] == P[j]，则i++,j++；

3）如果S[i] != P[j]，则需要移动模式串指针j，根据next[j]值来决定移动距离；

4）如果j等于模式串P的长度，说明匹配成功，返回主串当前位置i与模式串长度的差值即可；否则继续匹配。

示例：

主串S：BBC ABCDAB ABCDABCDABDE

模式串P：ABCDABD

next[]数组：[-1,0,0,0,0,1,2,0]

假设在主串S的第9个位置开始查找，匹配过程如下：

S B C D A B C D A B C D A B D E
P A B C D A B D

1. S[9] != P[0]，移动模式串指针，j=next[0]= -1+1=0；

S B C D A B C D A B C D A B D E
P A B C D A B D

2. S[9] == P[0], S[10] == P[1], S[11] == P[2]，经过三轮比较，匹配成功，返回i与模式串长度的差值，即9。

时间复杂度：

KMP算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别是主串和模式串的长度。相比于朴素的字符串匹配算法，KMP算法具有更高的效率和更低的时间复杂度，适用于大规模字符串匹配问题的解决。

条列重点

1. KMP算法是一种字符串匹配算法，用于在文本字符串中查找子串的出现位置。
2. 该算法利用已经匹配的信息来避免在搜索时无用的匹配操作，从而提高效率。
3. KMP算法中最重要的部分是构建一个表格，该表格可以告诉我们在匹配失败时应该跳到哪个位置继续搜索。
4. 构建这个表格的过程可以看作是一个自我匹配的过程，我们利用已经匹配好的信息来寻找一些规律并记录在表格中。
5. KMP算法的时间复杂度是O(n+m)，其中n和m分别是文本和子串的长度。
6. KMP算法的空间复杂度是O(m)，其中m是子串的长度。
7. KMP算法可以应用于多种数据结构和问题，例如字符串匹配、查找重复字串等。

知识测验

1. 问题： 给定一个文本串s和一个模式串p，在s中查找是否存在一个子串与p匹配。
   答案: KMP算法
   解答:
   KMP算法的基本想法是，当匹配错误发生时，已经匹配的那些字符很可能包含有关我们可以跳过的位置的信息，因此可以使用这些信息进行匹配，跳过一些不必要的字符。

2. 问题：给定一个字符数组和一个模式串，返回模式在字符数组中的所有匹配位置（字符串可以重叠）。
   答案: KMP算法
   解答:
   KMP算法是一种用于查找字符串中子串的快速算法。基于该算法，可以实现一个函数或类，用于在文章中查找指定的关键字，或在编辑器中查找指定的代码片段。

3. 问题：给定一个文本串和一个模式串，将文本串中与模式串匹配的字符替换为另一指定字符。
   答案: KMP算法
   解答:
   KMP算法通常使用在字符串匹配问题上。但是，当使用KMP算法将一个字符串保存到另一个字符串中时，也可以将其视为字符串匹配问题。可以逐个字母遍历字符串，将找到的字符替换成另一个字符。

4. 问题：给定一个文本串和一个模式串，查找和计算文本串中所有匹配模式串的字符。
   答案: KMP算法
   解答:
   KMP算法是一种查找字符串中子串的快速算法。基于该算法，可以实现一个函数或类，用于在文章中查找指定的关键字，或在编辑器中查找指定的代码片段。在计算每个匹配字符时，可以使用额外的数组。

5. 问题：给定一个文本串和一个模式串，查找文本串中所有匹配模式串的字符，并返回匹配的字符个数。
   答案: KMP算法
   解答:
   KMP算法可以用于查找文本串中所有匹配模式串的字符。使用KMP算法时，可以选择是否需要计算和返回所有匹配字符的个数。在使用KMP算法时，可以要求函数或类将计数和返回值分开处理。