最好情况时间复杂度

习题预习

1. 在已排序的列表中查找一个元素，时间复杂度为O(log n)，其中n是列表的长度。
2. 在一个数组中找到最小值或最大值，时间复杂度为O(n)，其中n是数组的长度。
3. 在一个已排序的数组中合并两个数组，时间复杂度为O(n)，其中n是数组的长度。
4. 在一个有向无环图(DAG)中求所有节点的最短路径，时间复杂度为O(V+E)，其中V是节点数，E是边数。
5. 在一个二叉搜索树上完成插入、查找和删除操作，时间复杂度均为O(log n)，其中n是树中节点的数量。

说明知识

Best-Case Time Complexity指的是当算法面对最佳情况（即算法的输入最符合算法所预期的状况）时，经过该算法的运算所需的最少时间。

举例来说，假设有一个在已排序的阵列中寻找目标值的算法，当目标值恰好在阵列的中央时，此算法的Best-Case Time Complexity为O(1)，因为只需在中央位置进行一次比较即可找到目标值。

再举一个例子，假如有一个在大小为n的阵列中寻找最小值的算法。当最小值恰好在阵列的第一个位置时，此算法的Best-Case Time Complexity为O(1)，因为只需要一次比较即可找到最小值。而当最小值位于中间位置或者最后一个位置时，此算法的Best-Case Time Complexity为O(n)，因为需要逐一比较每一个元素。

条列重点

1. 最好时间复杂度是指在最理想的情况下，算法执行所需的最少时间。

2. 最好时间复杂度通常是对排序或搜索算法进行分析时使用的概念。

3. 在最好的情况下，算法可以获得最优化的结果，例如当数据集已经排序时，排序算法的最好时间复杂度是O(n)。

4. 最好时间复杂度不一定代表算法的效率，因为在大多数情况下，最好的情况不常见。

5. 知道算法的最好时间复杂度对于通过优化算法以提高效率具有重要意义。

知识测验

1. 求一个n x n矩阵的转置矩阵
   Best-Case Time Complexity：O(n^2)
   答案：将矩阵遍历一遍，将第i列与第j行的元素交换位置，其中i < j。

2. 给定一个有序数组和一个目标值，查找目标值的索引。如果目标值不存在，返回-1。
   Best-Case Time Complexity：O(1)
   答案：当目标值在数组的中央位置时，查找的时间最短，此时的时间复杂度是O(1)。

3. 给定一个包含n个数的数组，找到所有的3个数的组合，使得它们的总和为0。
   Best-Case Time Complexity：O(n^2)
   答案：采用双指针法，将数组排序，遍历每个数字，设一个左指针和一个右指针，分别指向该数字的下一个和数组的最后一个元素，判断三个数之和是否为0，如果小于0，左指针就往右移，如果大于0，右指针就往左移。

4. 给定一个字符串，找到最长的不包含重复字符的子串。
   Best-Case Time Complexity：O(n)
   答案：采用滑动窗口法，记录每个字符出现的位置，当遇到重复字符时，将窗口左端点移到该字符上一次出现的位置的下一个位置。

5. 给定一个具有n个节点的二叉搜索树，找到其中第k小的元素。
   Best-Case Time Complexity：O(h + k)，h为树的高度
   答案：使用中序遍历，在遍历的过程中，计数器不断累加，当计数器的值等于k时，返回当前节点的值。因为二叉搜索树的中序遍历结果是一个有序的数组，所以在最好情况下，只需要遍历到第k个节点就可以结束遍历。