无向图

习题预习

1. 给定一个无向图，问是否存在任意一条从一个点到另一个点的路径。

2. 给定一个无向图，找到其中所有奇环（环的长度为奇数）。

3. 给定一个无向图，找到其中所有的二分图（可以把图的所有点分成两个集合，使得集合中的所有点之间都不存在边）。

4. 给定一个无向图，找到其中所有的桥（删除此边后，图会变成两个不连通的子图）。

5. 给定一个无向图，找到其中所有的连通份量（图中的所有点都可以通过边相互到达）。

说明知识

Undirected Graph是一种图形，其节点（也被称为顶点）之间的连接是双向的，没有方向。在此图形中，每个节点都可以直接连接到其他节点，且没有顺序。Undirected Graph在许多应用中都很常见，例如社交网路、网路结构、物体之间的连结等等。

以下是一个Undirected Graph的例子，其中节点A、B、C、D和E代表不同的物体，而边（线）代表物体之间的连接：

A ----- B
|       |
|       |
C ----- D ----- E

在这个例子中，节点A直接连接到节点B和节点C，节点B直接连接到节点A和节点D，节点C直接连接到节点A和节点D，节点D直接连接到节点B、节点C和节点E，节点E直接连接到节点D。注意到这个图形中的边没有方向，所以A和B之间的连接也等同于B和A之间的连接。

这个Undirected Graph可以用来模拟不同物体之间的连接，例如A和B表示两个人之间的关系，D和E表示两个物品之间的相似性。当使用这个图形来分析关系或其他因素时，需要注意其是否是有向的，以确保分析结果的准确度。

条列重点

1. 无向图由一组节点和一组边组成，每个节点可以与其他节点直接相连。

2. 给定一个无向图，可以用矩阵或邻接表等方式表示。

3. 无向图可以应用于许多问题，如社交网络、互联网连通性等。

4. 无向图中的“度”是指每个节点与其他节点相连的边的数量。

5. 求解无向图问题的常见算法包括DFS（深度优先搜索）、BFS（广度优先搜索）、最小生成树等。

6. 在无向图中，若从一个节点开始，能够走遍图上的所有节点，则该无向图称为联通图。

7. 无向图的一个子图称为生成子图，若该子图包含原图中的所有节点但并不一定包含所有的边。

8. 无向图中的最短路径是指从一个节点到另一个节点的最短路径，最短路径可以利用Dijkstra算法或贝尔福德-福尔德算法求解。

知识测验

1. 给定一个无向图和一个起点，找到该图中所有从起点出发的最短路径。

答案：BFS（广度优先搜索）可以在 $O(V+E)$ 的时间内解决此问题。

2. 给定一个无向图和起点、终点，找到一条从起点到终点的最短路径。

答案：Dijkstra’s算法可以在 $O(E\log V)$ 的时间内解决此问题。

3. 给定一个无向图和一个源点，找到该图中所有点到源点的最大距离。

答案：可以使用DFS（深度优先搜索）计算所有点到源点的距离，然后简单地选择最大值。

4. 给定一个无向图和一个源点，找到该图中所有点到源点的最小生成树。

答案：Prim’s算法和Kruskal’s算法都可以解决此问题，其时间复杂度均为 $O(E\log V)$。

5. 给定一个无向图和一个源点，找到该图中所有点到源点的最短路径的平均长度。

答案：可以使用所有源点到其他点的最短路径之和除以总节点数的方式计算。这可以通过使用Dijkstra’s算法的变形，对每个节点执行BFS来实现。