最大堆

习题预习

1. 如何将一个数据插入到Max Heap中？
2. 如何从Max Heap中删除最大值？
3. 如何构建Max Heap？
4. 如何查找Max Heap的最大值？
5. 如何使用Max Heap来协调一系列任务的执行顺序？

说明知识

Max Heap是一种二元树 (Binary Tree) 的数据结构，其中每个节点的值都大于其子树中的节点值。也就是说，树的根节点必须是树中所有节点的最大值。在Max Heap中，对于任意的节点 i，其左子节点为 2i，右子节点为 2i+1。

以下是一个Max Heap的例子：

 70
/ \

50 60
/ \
30 40 20

在这个例子中，根节点为 70，其左子节点为 50，右子节点为 60。左子节点 50 的左右子节点分别为 30 和 40，右子节点 60 只有一个右子节点 20。

Max Heap通常用于实现堆排列 (Heap Sort)、优先伫列 (Priority Queue) 等数据运算中，也可以用于找到最小 K 个数中的最大值。

条列重点

1. Max Heap 是一种二元树，每个节点的值都大于等于其子节点的值。
2. Max Heap 是一种完全二元树，即所有的节点都填满了上层节点，最后一层从左到右填满。
3. Max Heap 可以使用一维阵列来实现，根节点的索引为 0，其左子节点的索引为 2i+1，右子节点的索引为 2i+2。
4. Max Heap 常用的操作包括插入元素、删除最大值、建立 Max Heap 和排序等。
5. 在插入元素时，先把元素插入到堆的最后一个位置，然后进行上浮操作，将其和父节点的值进行比较，如果比父节点大，则交换位置，直到到达根节点或比父节点小为止。
6. 在删除最大值时，先将根节点和最后一个节点交换位置，然后进行下沉操作，将其和子节点的值进行比较，如果比子节点小，就和子节点交换位置，直到下沉到最后一层或比子节点大为止。
7. 建立 Max Heap 的方法可以使用逐步下沉的方式，从最后一个有子节点的节点开始，对每个节点进行下沉操作，使其成为子树的最大值。
8. Max Heap 的排序算法称为 Heap Sort，是一种不稳定的排序算法，时间复杂度为 O(n log n)。
9. Max Heap 也可以用来实现优先队列，每次取出最大值即可得到优先级最高的元素。

知识测验

1. 找到第 k 大的元素
   给定一个大小为 n 的整数数组，请找到第 k 大的元素。可以假设 1 ≤ k ≤ n。

答案：使用最大堆维护数组的前 k 大元素，然后返回堆顶元素即可。

2. 合并 k 个有序数组
   给定 k 个已经按照升序排列的数组，请将它们合并成一个新的有序数组。

答案：建立一个大小为 k 的最小堆，每次将 k 个数组中的最小元素加入堆中，然后弹出堆顶元素并添加到结果数组中，直到堆为空。

3. 求解中位数
   给定一个数组，求解其中位数（如果数组大小为偶数，则返回中间两个数的平均值）。

答案：使用两个堆，一个最大堆维护数组的前半部分，一个最小堆维护数组的后半部分。当数组大小为奇数时，中位数就是最大堆的堆顶，当数组大小为偶数时，中位数就是最大堆的堆顶和最小堆的堆顶的平均值。

4. 找到 k 个最接近的元素
   给定一个排序后的数组和一个数 k，请找到 k 个和指定数最接近的元素。可以假设给定数字一定存在于数组中。

答案：使用大小为 k 的最小堆维护 k 个距离最近的元素。每次加入一个新元素时，如果堆大小小于 k，就直接加入，否则就判断新元素是否比堆顶元素更接近，如果是则弹出堆顶元素并加入新元素。

5. 找到多数元素
   给定一个大小为 n 的整数数组，请找到出现次数超过 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。

答案：使用大小为 n/2+1 的最小堆（或最大堆），将数组中的元素加入堆中。由于最多只有一个元素的出现次数超过 ⌊ n/2 ⌋，所以堆顶元素一定是答案。