AVL树

习题预习

1. AVL Tree是什么？
2. AVL Tree与Binary Tree之间的区别是什么？
3. AVL Tree如何保持平衡？
4. AVL Tree是如何进行插入和删除操作？
5. AVL Tree的时间复杂度是多少，并举例说明？

说明知识

AVL Tree是一种自平衡二元搜寻树，也就是说在插入或删除节点时，会自动调整其结构，使树保持平衡状态，使搜索操作的时间复杂度保持在O(log n)级别。

AVL Tree的平衡是在节点的左右子树高度之差不超过1的情况下进行的。当发现某一个节点的左右子树高度差超过1时，就需要进行平衡操作。

常见的平衡操作有四种：左旋、右旋、先左旋再右旋和先右旋再左旋。旋转操作会改变节点的位置，但不会改变节点的子节点，因此旋转操作不会导致整棵树的搜索顺序改变。

以下是一个AVL Tree的例子：

在这个例子中，插入节点3时，发现节点7和节点9的高度差为2，需要进行平衡操作，先进行右旋操作，得到以下树：

接着再插入节点5，这次发现节点6和节点9的高度差为2，需要进行平衡操作，先进行左旋操作，得到以下树：

这样的AVL Tree就是一个平衡树，可以保证搜索操作的时间复杂度为O(log n)级别。

条列重点

AVL Tree 的重点如下：

1. 平衡因子：每个节点的左子树和右子树的高度差称为平衡因子，AVL Tree中平衡因子的绝对值不超过1。

2. 左旋和右旋：为了维护AVL Tree的平衡性，需要通过左旋或右旋操作对树进行调整。

3. 插入和删除：插入和删除节点时，要注意平衡因子的变化，需要将不平衡的节点通过旋转调整为平衡状态。

4. 查找和遍历：AVL Tree 支持快速查找和各种遍历操作，包括前序遍历、中序遍历和后序遍历。

5. 时间复杂度：AVL Tree 的操作时间复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。因此，AVL Tree在实际应用中具有很高的效率和可靠性。

知识测验

1. 在AVL Tree中插入元素10、15、12、20、25，请列出插入后AVL Tree的前序遍历结果。
   答案：15 12 10 20 25

2. 在一个AVL Tree中，删除元素3，请列出删除后AVL Tree的后序遍历结果。
   答案：4 2 5 1

3. 在AVL Tree中查找元素8的祖先，请列出查找结果。
   答案：10 9

4. 在AVL Tree中查找元素11的后继，请列出查找结果。
   答案：12

5. 给定一组数列{8, 12, 10, 6, 11, 9, 14, 17, 20}，请构建出一棵AVL Tree。
   答案：12 8 9 6 10 11 17 14 20