瑪律可夫決策過程

習題預習

1. 什麼是Markov Decision Process(MDP)？
2. MDP 中的狀態(state)是什麼意思？它有哪些特徵？
3. 什麼是MDP的策略(policy)？它如何影響MDP的表現？
4. 在MDP中，價值函數(value function)是什麼？ 它的用途是什麼？
5. MDP中的強化學習(reinforcement learning)與監督學習(supervised learning)有何不同之處？

說明知識

Markov Decision Process（MDP）是一種數學模型，用於描述在多個時刻中，決策問題的轉換過程。它可以幫助我們理解如何在不確定的情況下，使用最佳決策來實現某個目標。

MDP通常由以下組成：

1. 狀態（state）：描述系統或環境的狀態，可以是離散或連續的。

2. 行動（action）：用於改變狀態的決策，可以是離散或連續的。

3. 報酬（reward）：對行動的結果進行評估，以決定哪些行動是良好的。

4. 轉移概率（transition probability）：描述從一個狀態到另一個狀態的可能性。

舉個例子，假設你是一個出租車司機，你需要將乘客從一個地方載到另一個地方，讓我們使用MDP解決這個問題。在這個場景中，我們可以有以下參數：

1. 狀態：描述出租車在不同地方的狀態，例如在路上、在路口、停在路邊等。

2. 行動：描述出租車可以採取的動作，例如紅綠燈處停車等待，前行到交叉路口等。

3. 報酬：描述乘客越快越好，所以我們可以設置報酬為載到乘客開始到達目的地的所需的時間。

4. 轉移概率：描述由某個狀態轉換到另一個狀態的概率。

並且在此基礎上將MDP的定義應用於問題中，並使用最佳決策來最小化載客所需的時間。

條列重點

1. 狀態(State)：系統可能處於的不同狀態
2. 行動(Action)：系統可執行的各種行動
3. 狀態轉移函數(Transition Function)：描述系統如何由一個狀態轉移到另一個狀態，並受行動影響
4. 即時獎勵函數(Reward Function)：描述當系統處於某個狀態且採取某個行動時，獲得的即時獎勵值
5. 持續時間收益(Return)：在一個序列操作中，按照當前策略採取一系列行動後，獲得的總收益
6. 策略(Policy)：系統在各個狀態下，選擇執行哪個行動的策略
7. 優化問題(Optimization Problem)：在已知系統的狀態轉移函數、即時獎勵函數和策略的情況下，如何設計最優策略使得持續時間收益最大化
8. 廣義策略迭代(Generalized Policy Iteration)：以價值函數(Value Function)和策略迭代(PI)交替進行的一種模型學習算法
9. Q-Learning算法：一種不需要事先知道狀態轉移函數的基於Q值學習法則的強化學習算法
10. 蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)：直接從經驗中學習策略的一種方法，通過對環境進行多次仿真實驗，獲得期望收益和狀態轉移函數等信息，進而學習最優策略

知識測驗

1. 在一個走廊上有三個門，但只有一個會通往目標房間，走錯就會回到起點。你每次可以選擇開哪一扇門，每次開門成功的機率是0.5，失敗的機率也是0.5。該如何進行策略？

答案：這是一個具有無記憶特性的MDP。由於成功和失敗的機率相等，因此我們無論選擇哪個門，期望收益都是相等的。因此，最好的策略就是一直選擇同一扇門，直到到達目標房間。

2. 一家公司正在考慮是否進行一個新產品的開發。如果這個新產品成功，公司將獲得100萬元的利潤，但如果失敗，公司將會虧損50萬元。公司可以在產品上花費90萬元，這樣成功的機率為0.5。公司也可以花費150萬元，這樣成功的機率為0.8。該如何進行策略？

答案：這也是一個具有無記憶特性的MDP。公司應該通過一個財務分析來決定哪種策略最優。如果公司有100萬元的現金流，那麼開發低成本產品的期望收益將是(0.5 x 100) - 90 = -40萬元；開發高成本產品的期望收益將是(0.8 x 100) - 150 = -70萬元。因此，最好的策略就是開發低成本產品。

3. 一個人必須在一天內完成三個任務，每個任務都需要花費一個小時的時間。人有兩種不同的硬體設備可用，一種比另一種更快但更昂貴。如果他選擇使用較便宜的設備，那麼他需要10分鐘的休息時間，以便在完成每個任務後能夠恢復體力。如果他選擇使用更昂貴的設備，那麼他可以在完成所有任務後休息20分鐘。請問應該如何進行策略？

答案：這是一個具有有限記憶性的MDP，因為人可以在完成各個任務後選擇更換設備。策略的最佳方法是從剩餘的時間和任務中選擇一個最未完成的任務，然後根據當前的體力和時間選擇適當的硬體設備。具體而言，如果還有至少一個小時的時間，那麼使用較便宜的設備；否則就使用較昂貴的設備。

4. 一個經濟學家必須選擇參加一個國際會議還是參加一個本地會議。如果他參加了國際會議，他會增加他在領域內的可見性，但會花費10萬元的旅行費用。如果他參加本地會議，他不會從國際學術界獲得認可，但不需要支付額外費用。請問應該如何進行策略？

答案：這是具有有限記憶的MDP，因為經濟學家的成功取決於他之前的決策以及機會的變化。選擇的策略應該參考下列因素： 經濟學家在領域內的聲譽程度，目前的財務狀況，經濟學家認為在國際會議上發表論文的可能性以及與其他學者進行的交流可能會加快的收入增長速度。

5. 在國家能源局的一個部門中，存在兩個異性之間的性騷擾行為。管理局決定採取正式行動，以解決問題。他們可以採取兩個行動方案：第一個方案是對罪犯進行瞭解和警告，同時禁止其他討論；第二個方案則是進行更徹底的調查和處理，並考慮解僱有罪人員。哪種方案最好？

答案：這是一個高度複雜的MDP，因為該問題不僅僅涉及了性騷擾，還涉及了機密性、道德以及公司的形象等問題。答案取決於許多因素，例如國家法律法規、公司的政策以及事件的性質和嚴重性。在大多數情況下，採取更全面的行動可能更適合，因為它可以解決問題的根本原因，並同時保護員工的權利和公司的聲譽。