k-平均演算法

習題預習

1. k-Means是什麼？它適用於哪些數據分析場景？
2. k-Means如何工作？它的數學原理是什麼？
3. k-Means的優點和缺點是什麼？在哪些方面它表現得比其他算法更好，哪些方面表現得不如其他算法？
4. k-Means的應用有哪些？在哪些產業中它得到了廣泛的應用？
5. 如何選擇正確的k值？在實際應用中，有哪些技巧可以幫助我們選擇適合的k值？

說明知識

K-Means是一種聚類分析的方法，目的是將具有相似特徵的資料點分為不同的群體，讓同一群內的資料點盡量相似，不同群間的資料點盡量不同。

具體的流程是：

1. 先隨機選擇k個點作為k個群的中心。
2. 將每個資料點歸屬到最近的中心所在的群。
3. 計算每個群內的資料點的平均值，作為新的中心。
4. 重覆步驟2和3，直至收斂，即不再有資料點的歸屬改變。

舉例來說，假設我們有一堆二維資料點，我們希望將它們分為三個群，具體流程如下：

1. 隨機選擇三個點作為三個群的中心，最初的歸屬如下圖所示：
   

2. 根據每個資料點距離哪個中心最近，重新歸屬到不同群體，如下圖所示：
   

3. 按群內的資料點計算平均，重新獲取中心，如下圖所示：
   

4. 重覆步驟2和3，直到收斂為止。最終的群分布如下圖所示：
   

可以看到，最終的結果是三個群，每個群都盡量包含相似的資料點。

條列重點

1. k-Means是一種聚類演算法，目的是將一組數據分成k個不同的群體。

2. 進行k-Means之前需要先設定k值，也就是需要分成的群體數量。

3. k-Means的運作過程包含兩個主要步驟：

• 第一個是初始化中心點。k-Means會隨機選取k個點作為群體的中心點。
• 第二個是分配數據到中心點。k-Means會將所有數據點分配到最近的中心點所在的群體中。

4. 在分配完所有數據點之後，k-Means會將每個群體的中心點更新為該群體內數據的平均值。

5. 此時重新進行分配數據到中心點的過程，直到群體的中心點不再改變，即達到收斂。

6. k-Means演算法的優點在於速度較快且適合處理大型資料集，但需要事先知道群體數量k值，而且對初始的中心點位置敏感。

知識測驗

1. 假設你有一個包含1000個資料點的數據集，你該如何通過k-Means算法把這個數據集分為5個簇？
2. 當k-Means算法中的簇數目改變時，如何確定最好的簇數目？
3. k-Means算法是否有可能會收斂到一個局部最優解而不是全局最優解？如何處理這種情況？
4. 假設你有一個維度非常高的數據集，如何通過PCA降維後再用k-Means算法進行聚類？
5. 如何衡量k-Means算法的聚類效果？

答案：

1. 可以通過k-Means算法迭代地把這個數據集分為5個簇。
2. 可以使用elbow方法，即通過繪製簇數目和畸變程度的曲線來確定最好的簇數目。
3. 是的，k-Means算法有可能會收斂到一個局部最優解而不是全局最優解。可以使用多次初始化或者層次聚類等方法來處理這種情況。
4. 可以使用PCA方法降維後再用k-Means算法進行聚類，這樣可以減少計算量和維度災難的影響。
5. 可以使用畸變程度、輪廓係數、DBI指數等指標來衡量聚類效果。畸變程度越小，輪廓係數越高，DBI指數越小，表示聚類效果越好。