算法設計技巧

習題預習

1. 用分治法設計一個排序演算法。請說明演算法的時間複雜度。

2. 用貪婪法設計一個最佳化演算法。請說明演算法的思路和複雜度。

3. 用動態規劃設計一個最佳化演算法。請說明演算法的思路和複雜度。

4. 用回溯法設計一個解決搜索問題的演算法。請說明演算法的思路和複雜度。

5. 用線性規劃設計一個最大化或最小化目標的演算法。請說明演算法的思路和複雜度。

說明知識

Algorithm Design Techniques簡單來說是指在設計演算法時，使用的各種設計技巧和策略。這些技巧和策略可以幫助我們更容易地解決問題、優化演算法的效率等等。以下列舉一些常見的Algorithm Design Techniques：

1. Divide and Conquer（分治法）
   這種設計技巧的主要思想是把複雜的問題分解成多個小問題，然後對這些小問題分別解決，最後再將小問題的解合併起來得到整個問題的解。例子包括快速排序、合併排序等等。

2. Greedy（貪心法）
   貪心法的設計思想是每次選擇當前最優的解決方案，並且確信這種局部最優的解法能帶來整體最優的效果。例子包括霍夫曼編碼、最小生成樹問題等等。

3. Dynamic Programming（動態規劃）
   動態規劃是一種將大問題分解成多個子問題，並且保存子問題的解決方案用於重複利用的技術。這種技術的設計目的是降低計算量，避免多次計算相同的問題。例子有最長共同子序列、最短路徑問題、背包問題等等。

4. Backtracking（回溯法）
   回溯法是將問題轉換成一棵搜索樹，在這棵樹上進行深度優先搜索，當搜索到達某個節點時，發現這個節點不能再擴展出解答時，返回上一層節點繼續搜索。這種技術比較適合解決可以「決策樹」形式表示的問題。例子有N皇后問題、解數獨問題等等。

5. Randomized Algorithm（隨機算法）
   隨機算法通過隨機方式尋求解決問題的方法，通常用於解決時間複雜度較高的問題。隨機算法可以分為兩類：一種是在運行時生成隨機數，然後根據隨機數制定策略；另一種則是通過拉斯維加斯算法來隨機獲得答案。例子有快速排序中的隨機化算法等等。

以上是Algorithm Design Techniques中的一些常見技巧和方法，不同的演算法設計方法與問題有著不同的適用範圍，需要根據問題的特點妥善選擇合適的方法。

彙總重點

1. Brute Force：窮舉法（暴力求解），通過枚舉問題解答中所有可能的解法，然後選擇最優的方法。
2. Divide and Conquer：分而治之，將問題分成小的部分，解決每個小部分問題，最後將所有部分的解組合起來得到完整的解答。
3. Dynamic Programming：動態規劃，通過將大問題分解成子問題，將大問題的解算出來，並保存起來，避免重複計算，提高計算效率。
4. Greedy Algorithms：貪心算法，每次選擇最優解決方案，無視長期影響，通過多次選擇局部最優解，最終得到全局最優解。
5. Backtracking：回溯算法，是一種遞歸的算法，通過窮舉所有可能解，判斷是否滿足要求，如果不滿足就返回上一個狀態，繼續窮舉解，直到找到滿足要求的解。
6. Randomized Algorithms：隨機化算法，通過隨機選擇一些參數，使算法得到更好的結果，避免因某些特殊情況導致算法崩潰。
7. Heuristics：啟髮式算法，通過觀察問題的特點，選擇一些啟發性的規則，加速問題的解決，使得算法的執行效率更高。

這些算法設計技術可以幫助我們快速、高效地解決各種複雜的問題，提高計算機程序的效率和性能。

知識測驗

1. Dynamic Programming問題: 最長遞增子序列 (Longest Increasing Subsequence, LIS)
   給定一個數列，例如[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，求其中最長的遞增子序列有多長？

答案: 答案為4，其中最長的遞增子序列為[2, 3, 7, 101]。

2. Greedy Algorithm問題: 貪心算法（Kruskal’s Algorithm）
   給你一個帶權無向圖，請設計一個算法來找到最小生成樹。

答案: Kruskal’s Algorithm

3. Divide and Conquer問題: 在排序數組中查找特定元素
   給定一個已排序的整數數組和一個目標值，請在數組中找到目標值的索引。如果目標值不存在於數組中，則返回-1。

答案：針對該問題的解法有很多，可以使用二分搜尋算法、插值搜尋算法等等。

4. Reduction問題: 前置問題 (Traveling Salesman Problem, TSP)
   給定一個權重完全圖，請設計一個算法尋找經過所有節點的最短路徑。

答案: 可以將TSP問題針對所有節點求最小生成樹（MST），然後在MST上運行歐拉迴路演算法。

5. Approximation Algorithm問題: 歐拉環路 (Eulerian Circuit)
   給定一個無向圖，如果它包含一個權重為奇數的節點，則該圖不可能有一個歐拉迴路。如果該圖中所有節點的權重都是偶數，則該圖可能有歐拉迴路。請編寫一個算法來找到歐拉迴路。

答案: Hierholzer Algorithm

以上問題僅供參考，實際上任何算法設計題目都可以根據不同難度等級進行分類。