分治算法

習題預習

1. 在一個有序數列中，如何有效地查找一個特定元素？
2. 給定一些矩陣，如何在最少的計算步驟中將它們相乘？
3. 在一個未排序的數列中，如何找出中位數（即所有數的中間值）？
4. 如何在一個圖中有效地找到所有可能的路徑？
5. 給定一組數據，如何有效地找到其中的極值點？

說明知識

Divide and Conquer是一種演算法設計技巧，主要是將一個複雜的問題分解成多個較小且相互獨立的子問題，然後逐步解決這些子問題，最後將它們的解合併起來，得到原問題的解。

一個經典的例子是使用Divide and Conquer設計的快速排序算法。當我們希望排序一個序列時，可以先選擇一個基準點（pivot），將序列中比基準點小的數放到左邊，比基準點大的數放到右邊，然後在左右子序列中重複遞歸地進行上述操作，直到每個子序列只有一個元素為止。

另外一個例子是合併排序算法。當我們希望合併兩個已排序的序列時，可以將它們分成更小的子序列，然後將子序列進行合併。這樣遞歸地進行下去，最終得到已排序的序列。

Divide and Conquer技巧的優點在於，它可以將一個複雜的問題分解成多個簡單的子問題，然後逐步解決，這樣能夠大大減少問題的複雜度，提高算法的效率。

彙總重點

1. 分割問題：將問題分割成更小的子問題。
2. 解決問題：對每個子問題進行求解或遞歸處理。
3. 合併結果：將所有子問題的解合併成原問題的解。
4. 適用範圍：適用於各種複雜問題，如排序、搜索、圖形問題等。
5. 提高效率：可以通過遞歸的方式，提高算法的效率。
6. 分散風險：將問題分割成較小的子問題，可以降低錯誤發生的風險。
7. 編程實現：通常使用遞歸算法實現。

知識測驗

1. 求一个未排序的数组中第k个最大元素。
   答案：可以使用快速排序中的Partition操作来实现，每次选取一个pivot，比pivot大的放在右边，比pivot小的放在左边，然后递归对左右两个子数组进行操作，直到找到第k大的数。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

2. 寻找两个已排序数组的中位数。
   答案：可以使用二分查找的思想，将两个数组分别进行二分，然后比较两个数组的中位数，如果相等，则返回，如果不相等，则将较小的数组的左半部分和较大数组的右半部分组成一个新的数组进行递归操作，直到找到中位数。时间复杂度为O(log(m+n))，空间复杂度为O(1)。

3. 求数组中最大的连续子数组和。
   答案：可以使用分治法，将数组拆分成左半部分，右半部分，和跨越中间的子数组三个部分。然后递归对左右两边分别求解最大连续子数组和，返回左边最大子数组和、右边最大子数组和、以及跨越中间的最大子数组和，三者取最大值即可。时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(logn)。

4. 求数组中逆序对的数量。
   答案：可以使用归并排序的思想，在归并过程中统计逆序对数量。每次归并左右两个子数组的时候，记录一个计数器，当右边的数小于左边的数时，说明存在逆序对，将计数器加上左边子数组剩余的长度即可。时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。

5. 求解最小切割代价问题。
   答案：在合并两个石墙的过程中，每一次合并的代价都是当前两堵石墙的高度之和，最终需要使得将所有石墙都合并成一堵石墙的总代价最小。可以使用动态规划的思想，定义状态f[i][j]表示从第i堵到第j堵石墙所需的最小代价。则有$f[i][j] = \min\limits_{i \leq k < j}{f[i][k]+f[k+1][j]+H[i][k]+H[k+1][j]}$，其中H[i][k]表示高度之和。递推公式表示为：$f[i][j] = \min\limits_{i \leq k < j}{f[i][k]+f[k+1][j]+H[i][k]+H[k+1][j]}$，时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。