背包問題（Knapsack Problem）是一個經典的組合優化問題，描述了如何從一個限制好重量和體積的背包中選擇最有價值的物品，使得總體積不超過背包的容量。
舉例來說，假設有一個容量為10的背包，而且有下列的一些物品：
| 物品 | 重量 | 價值 |
|---|---|---|
| 物品1 | 3 | 4 |
| 物品2 | 4 | 5 |
| 物品3 | 2 | 3 |
| 物品4 | 1 | 2 |
| 物品5 | 5 | 6 |
現在你需要從這些物品中選擇出一些物品，放進背包中，使得它們的總重量不超過10，且它們的總價值要最大。設每個物品放或不放的狀態為1或0，則可列出下列的決策矩陣：
| 物品 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 重量 | 3 | 4 | 2 | 1 | 5 |
| 價值 | 4 | 5 | 3 | 2 | 6 |
接著可以使用動態規劃的方法來解決這個問題。設f(i, j)為在前i個物品中選擇，且總重量不超過j的情況下，可以得到的最大價值。則可以得到下列的轉移方程：
f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i-1, j-w[i])+v[i])，其中w[i]表示第i個物品的重量，v[i]表示第i個物品的價值
最後，f(5, 10)即為答案，代表在這些物品中選出一些物品，可以得到的最大價值是18。
總括來說，背包問題是一種經典的組合優化問題，涉及到如何從多個物品中選擇部分物品，並且使得它們的總體積或總重量不超過限制，同時總價值或總收益最大的問題。
定義：Knapsack Problem是一種最佳化問題，其目標是將限制容量的背包裝滿，同時維持最大總價值。
公式：knap(W, wt[], val[], n)表示在容量W下，從n個物品中選出最優組合，其中wt[]和val[]分別代表物品重量和價值。
算法：常見解決Knapsack Problem的算法有動態規劃、貪心算法、分支定界算法等。
特點：Knapsack Problem的特點是NP完全問題，即算法解決困難度高，因此需要使用有效的求解方法。
應用：Knapsack Problem廣泛應用於背包選擇、投資組合優化、資源分配等領域。
有一個背包可容納重量為W的物品。現在有n件物品，每件物品的重量為wi，價值為vi。請問能夠放入背包的物品中，總價值最大是多少？
答案：經典的0/1背包問題
有一個背包可容納重量為W的物品。現在有n件物品，每件物品的重量為wi，價值為vi，但是每件物品只能使用一定次數。請問能夠放入背包的物品中，總價值最大是多少？
答案：有限制的01背包問題
有一個背包可容納重量為W的物品。現在有n件物品，每件物品的重量為wi，價值為vi，但是被放入背包後每件物品的價值會隨時間推移而下降，下降的速率與時間有關，每單位時間價值下降d元。請問如何放置物品，使得背包內物品總價值的下降速率最小？
答案：附帶下降價值的背包問題
有一個背包可容納重量為W的物品。現在有n件物品，每件物品有兩個參數，重量wi和價值vi，且重量和價值均為整數。現在要求選擇若干件物品放入背包中，使得滿足以下條件：