集合覆蓋

習題預習

1. 假設有一個城市，裡面有5個公園，需要在這些公園周圍設置照明設施，如何選擇最少的照明點，使得每個公園都有充足的照明？
2. 一間公司需要選擇廣告平台以宣傳其產品，可選擇的平台有10種，但每個平台價格不同，如何選擇最少的平台，以覆蓋所有潛在客戶？
3. 一個医院需要选择哪些人员参加一個緊急的灯火緊急計劃，以下是幾種人員選擇方案，如何选择最少的方案以确保所有可能的应急情况都得到適當的應對？
4. 一個農夫有一塊大田地，需要選擇哪些作物種植，以達到最大的收益，可種植的作物包括小麥、玉米、豆類等，但每種作物的種植面積有限，且每種作物的投入和產出不同。
5. 一個零售商需要選擇哪些產品擺放在店面陳列櫃裡以吸引顧客，可選擇的產品有50種，但每種產品的銷售量和利潤不同，如何選擇最少的產品，以最大化銷售額和利潤？

說明知識

Set Cover是一個組合優化問題，目標是在一組集合中，找到最小的子集，使得這些子集的聯集可以包括所有元素。

例如，假設有以下三個集合：

A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6}
C = {3, 5}

我們可以選擇兩個子集：{A, C}或{B, C}，這些子集的聯集都可以涵蓋所有的元素。因此，這是一個Set Cover問題。

在這個問題中，我們希望找到包含所有元素的最小子集。例如，在這個例子中，解決方案可能是{A, C}，因為它只需要兩個集合來覆蓋所有的元素。

Set Cover問題在實際應用中廣泛使用，例如在計算機科學、運輸規劃、慈善捐贈等領域。解決Set Cover問題的算法包括貪婪算法、動態規劃和整數線性規劃等。

彙總重點

1. Set Cover 是一個組合優化問題，目的是在一群集合中找到最少的集合，使得它們的聯集包含所有元素。
2. Set Cover 經常被用來描述許多現實世界的問題，如旅行商問題、雜草清除、廣告投放等。
3. Set Cover 的簡單貪心算法是一個有效的近似解法，它的解答可以在多項式時間內求得。
4. Set Cover 是一個NP-hard問題，因此沒有已知的快速解決方案。
5. 為了解決 Set Cover，可以使用近似算法、精確算法、隨機算法等。
6. Set Cover 和其他組合優化問題經常在計算機科學和操作研究中被學習和應用。

知識測驗

1. 有一組數字{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，現在你需要從中選擇一些數字並將其加起來，讓總和正好等於20，問最少需要選幾個數字？

答案： 2（選7和13）

2. 有一個城市需要修建公路，城市中有n個區域，每個區域都需要覆蓋一條公路，現在已知每條公路所需的花費，且每條公路只能由一個承包商負責修建，問最少需要選擇幾個承包商才能完成全部公路的修建？

答案：無法確定，需要給定區域數量、公路花費和其他限制條件才能給出答案。

3. 有一個機器人需要完成多個任務，每個任務耗時不同，機器人移動到不同任務需要消耗不同的能量，現在需要確定最小能量消耗的路線，使得所有的任務都能夠成功完成，並且在完成所有任務後回到起點，問最小需要消耗多少能量才能完成所有任務？

答案：無法確定，需要給定任務耗時、機器人移動能量消耗與路線限制條件才能給出答案。

4. 有一個有向圖，圖上有n個點，m條邊，現在需要從起點走到終點，並且路徑上所經過的點與邊都需要覆蓋到，問最少需要經過幾條邊才能從起點走到終點？

答案：無法確定，需要給定圖上的起點、終點、邊與節點覆蓋限制條件才能給出答案。

5. 有一個商店需要停售一些貨品，現在已知每件貨品的利潤和被停售對應的損失，且每件貨品只能被停售一次，問最少需要停售多少個貨品才能獲得最大利潤？

答案：無法確定，需要給定貨品利潤、損失和其他限制條件才能給出答案。