旅行商問題

習題預習

1. 在一個城市之間有多少種最短路徑？
2. 如何尋找一個旅行商所需的最短路徑去訪問一組城市？
3. 如何最小化旅行商所需的時間、距離或成本？
4. 如何在最小的行駛路線中包含一個指定的城市？
5. 如果有一個城市是不可達的，如何找到一個最短路徑的替代方案？

說明知識

旅行商問題（Traveling Salesman Problem）是一種經典的問題，在計算機科學和運籌學等領域中被廣泛應用。該問題的基礎是給定一個包含多個城市的地圖，旅行商需要從起點出發，經過每個城市且只經過一次，最終回到起點。問題是找到一個最短的路徑，使得旅行商的路程最短。

例如，在下圖中，旅行商需要從城市A出發，經過所有城市只經過一次，最終回到城市A。藍色的線表示一條可能的路徑，但是不是最短的路徑。

這個問題的難點在於隨著城市數量增加，可能的路徑數量會急劇增加，計算最優解需要高度的計算能力。因此，許多算法已經被開發出來，以解決Traveling Salesman Problem。

常用算法包括貪心算法、動態規劃、旅行商模擬退火算法、遺傳算法等。這些算法以不同的方式進行經過城市的組合計算，並試圖找到一個最短的路徑。

總之，Traveling Salesman Problem 是一個經典的問題，在現實生活中有許多應用，例如路線規劃、貨物運輸和旅遊規劃等。

彙總重點

1. 定義：旅行推銷員問題（TSP）是一種在旅行商找到一個經過所有指定城市的最短路徑的問題，並且確保最終訪問的城市必須與起點城市相同。

2. 廣泛應用：TSP被廣泛應用於運輸、電信、製造、軟體和設計等業務領域，以幫助優化路徑和減少成本。

3. NP-hard問題：TSP被證明是NP-hard問題，即對於一組大型問題，找到最優解需要指數時間。

4. 問題的變體：TSP的變體包括多旅行商問題、機器人路徑問題、最小權重漢密爾頓路徑問題等。

5. 解決方法：解決TSP的方法包括動態規劃、貪心算法、人工智能算法等。

6. 問題限制：TSP中的限制包括規劃城市路線中的節點數、城市之間的距離和路徑形狀等。

7. 目標函數：TSP中的目標函數是最小化訪問所有城市所需的總路徑長度或時間，以獲得最佳路線。

8. 算法評估：評估算法的方法包括時間複雜度、空間複雜度、精度和可靠性等。

9. 可視化：TSP的解決方法可以以圖形方式呈現，以便更好地理解路徑和可視化結果。

10. 現實應用：TSP在現實中的應用包括交通路線優化、物流配送、無人機路徑規劃等。

知識測驗

1. 有一個業務員需要走訪4個城市，他必須從A出發，每個城市只能拜訪一次，且返回A的路線必須最短。每個城市的路程如下：

A到B：5
A到C：2
A到D：6
B到C：1
B到D：3
C到D：8

答案：A->B->C->D->A，總路程為16

2. 有一個業務員需要走訪5個城市，他必須從A出發，每個城市只能拜訪一次，且返回A的路線必須最短。每個城市的路程如下：

A到B：1
A到C：2
A到D：3
A到E：4
B到C：3
B到D：4
B到E：5
C到D：5
C到E：6
D到E：7

答案：A->B->C->D->E->A，總路程為16

3. 有一個業務員需要走訪6個城市，他必須從A出發，每個城市只能拜訪一次，且返回A的路線必須最短。每個城市的路程如下：

A到B：3
A到C：1
A到D：5
A到E：8
A到F：2
B到C：6
B到D：7
B到E：2
B到F：4
C到D：9
C到E：3
C到F：5
D到E：4
D到F：6
E到F：7

答案：A->F->C->B->E->D->A，總路程為29

4. 有一個業務員需要走訪7個城市，他必須從A出發，每個城市只能拜訪一次，且返回A的路線必須最短。每個城市的路程如下：

A到B：2
A到C：5
A到D：6
A到E：1
A到F：3
A到G：4
B到C：3
B到D：2
B到E：4
B到F：8
B到G：7
C到D：3
C到E：6
C到F：1
C到G：5
D到E：7
D到F：2
D到G：8
E到F：9
E到G：2
F到G：4

答案：A->F->C->G->E->D->B->A，總路程為29

5. 有一個業務員需要走訪8個城市，他必須從A出發，每個城市只能拜訪一次，且返回A的路線必須最短。每個城市的路程如下：

A到B：6
A到C：5
A到D：3
A到E：3
A到F：6
A到G：8
A到H：6
B到C：7
B到D：6
B到E：5
B到F：8
B到G：9
B到H：7
C到D：8
C到E：2
C到F：2
C到G：9
C到H：10
D到E：3
D到F：3
D到G：11
D到H：1
E到F：4
E到G：7
E到H：2
F到G：10
F到H：8
G到H：9

答案：A->D->E->H->C->B->F->G->A，總路程為34