動態圖演算法

習題預習

1. 給定一個動態圖，請實現一個動態聯通性查詢算法。
2. 設計一個動態最短路算法，實現對圖形中的加權邊進行動態更新。
3. 設計一個動態流算法，用於保持圖形中兩個點之間的最大流量。
4. 實現一個算法，用於動態維護圖形中的最小生成樹，並快速回答任意邊權重的更改和查詢最小權重生成樹。
5. 設計一個動態匹配算法，用於在圖形中維護最大匹配並支持邊權重的動態更新。

說明知識

Dynamic Graph Algorithms是指在一個動態圖上執行的演算法，隨著時間的流逝，圖的結構會隨之改變。因此，Dynamic Graph Algorithms需要能夠處理圖上的增量和減量操作（例如：添加或刪除邊）。

以下是一些Dynamic Graph Algorithms的例子：

1. 最短路徑演算法（Dijkstra Algorithm）：當添加或刪除一條邊時，都會影響圖上所有點到某一起點的最短路徑。因此需要更新相關路徑上的權重信息。

2. 最大流問題演算法（Ford-Fulkerson Algorithm）：當添加或刪除一條邊時，也會影響圖的最大流量，因此需要更新圖上的流量信息。

3. 動態圖的連通性問題（Dynamic Connectivity Problem）：當添加或刪除一條邊時，有些點或點集可能不再相連通。因此需要及時更新圖上的連通性。

4. 局部圖範圍的問題，如最大匹配問題（Maximal Matching Problem）：當添加或刪除一條邊時，僅需從其中一個點出發進行更新即可，不必重新輸入所有節點和邊。

總之，Dynamic Graph Algorithms是在運用優秀的算法進行計算的同時，對一個正在更新中的訊息環境進行合理的維護，是亮點和風險的平衡。

彙總重點

1. 動態圖的定義：動態圖是一個不斷變化的圖，其頂點和邊可以隨時被加入或刪除。
2. 動態圖算法的目標：維護圖的某些屬性，如最短路徑、連通性、最小生成樹等，當圖的拓撲結構發生改變時，能夠快速更新這些屬性。
3. 動態圖算法的基本思想：在圖的變化過程中，只更新被影響的部分，而不是對整個圖進行重新計算。
4. 動態圖算法的主要技術：使用增量式算法和分治策略。
5. 動態圖算法的主要應用領域：社交網絡分析、路徑規劃、交通流控制、基因組學、電力網絡管理等。
6. 動態圖算法的一些具體例子：動態最小生成樹、動態最短路徑、動態連通性、動態直徑、動態雙連通份量等。
7. 動態圖算法的挑戰與未來：巨大的圖、高效的實現和精確的評估是未來的挑戰，另外，隨著智能城市和物聯網的發展，動態圖算法的應用領域還會不斷擴展。

知識測驗

1. 最小生成樹最大值：給定一個無向加權圖，求出最小生成樹中最大權值的邊。

答案：Kruskal算法

2. 矩陣乘法：給定兩個矩陣，求它們的乘積。

答案：Strassen算法

3. 判斷圖是否二分圖：給定一個無向圖，判斷它是否是二分圖。

答案：BFS顏色填色

4. 計算最長路徑：給定一個有向加權圖，計算出從一個起點到終點的最長路徑。

答案：Bellman-Ford算法

5. 計算全源最短路徑：給定一個有向加權圖，計算出任意兩點之間的最短路徑。

答案：Floyd算法