圖形演算法

習題預習

1. 給定一張有向圖，求從一個頂點出發的最短路徑，並給出路徑。
2. 給定一無向圖和一個權值函數，求圖中的最小生成樹。
3. 給定一張有向圖，求其中是否存在環路，如果存在，請列出一個環路。
4. 給定一張有權值的圖，求從一個頂點出發到達另一個指定頂點的最短路徑。
5. 給定一張圖和一個權值函數，求從一個頂點出發到達另一個指定頂點的最短路徑，但限制通過的邊的權值總和不能超過一個給定值。

說明知識

Graph Algorithms是指一類用於理解和處理圖數據結構的算法。圖由「節點」和「邊」組成，通常用於表示實際問題中的關係和互動。

以下是Graph Algorithms的一些例子：

1. 最短路徑算法：用於查找兩個節點之間的最短路徑，其中最著名的算法是Dijkstra算法。

2. 圖遍歷算法：用於訪問圖中的所有節點，其中最常見的算法是深度優先搜索和廣度優先搜索。

3. 最小生成樹算法：用於找到連接圖中所有節點的最小的樹，其中最常見的算法是Prim和Kruskal算法。

4. 最大流算法：在有向圖中找到流量最大的路徑，其中最常見的算法是Ford-Fulkerson算法。

5. 社區挖掘算法：用於查找圖中存在的社區結構，其中最常見的算法是譜聚類和模塊性最優化。

這些算法可以應用於許多實際問題，例如：

1. 在地圖上找到最短的駕駛路線。

2. 在社交網絡中查找具有相似興趣愛好的用戶。

3. 識別基因組中的蛋白質互作。

4. 在通信網絡中找到最大的帶寬。

5. 查找網絡中惡意攻擊的源頭。

彙總重點

以下是 Graph Algorithms 的重點：

1. 搜尋演算法：尋找圖形中的連通性、最短路徑或最小生成樹等。

2. 深度優先搜尋（DFS）：一種遍歷圖形的方式，探索所有可訪問節點，並訪問每個節點的兒子，直到到達葉子節點。

3. 廣度優先搜尋（BFS）：一種遍歷圖形的方式，按層探索所有可訪問節點。在找到目的節點的最短路徑方面很有用。

4. 最短路徑算法：計算圖形中的最短路徑，例如 Dijkstra、Bellman-Ford 和 A* 等。

5. 最小生成樹：找到一棵包含圖形所有節點的最小連通子圖，例如 Kruskal 和 Prim 等。

6. 拓撲排序：按照先後關係順序排序圖形中的節點，例如 Kahn 算法。

7. 強連通性：可互相到達的節點被稱為強連通。兩個不同的圖形算法 Dijkstra 和 Floyd-Warshall 都可以用來計算強連通性。

8. 最大流：在兩個節點之間找到能夠移動最多數量的貨物的路徑，例如 Ford-Fulkerson 算法。

9. 圖形顏色：將圖形中每個節點著色，使相鄰節點不具有相同顏色，例如演算法定義。

10. 反轉邊：在圖形中轉換邊的方向，例如 Kosaraju 算法。

知識測驗

1. 给定一個無向圖，找到最小生成樹的權重。

答案：Prim’s algorithm 或 Kruskal’s algorithm。

2. 给定一個無向圖和其中的一個頂點，找到從該頂點到所有其他頂點的最短路徑。

答案：Dijkstra’s algorithm 或 Bellman-Ford algorithm。

3. 給定一個有向圖，判斷其中是否存在一個環。

答案：Topological Sorting 或 Floyd Warshall algorithm。

4. 給定一個有向圖和其中的兩個頂點，找到從起點到終點的所有路徑中權重最大的路徑。

答案：DAG Shortest Path algorithm 或 Bellman-Ford algorithm。

5. 給定一個有向圖和其中的一個頂點，找到從該頂點開始的所有強連通分量。

答案：Tarjan’s algorithm 或 Kosaraju’s algorithm。