矩陣乘法

習題預習

1. 請問何謂矩陣相乘？為什麼要進行矩陣相乘？
2. 兩個矩陣A和B若可以相乘，其乘積AB的每個元素如何計算？
3. 矩陣相乘時，應該注意哪些規則？
4. 矩陣相乘有什麼應用？舉例說明。
5. 矩陣相乘的時間複雜度是多少？如何優化？

說明知識

矩陣乘法 (Matrix Multiplication) 是一種數學運算，用於將兩個矩陣進行運算得到一個新的矩陣。矩陣乘法的步驟如下：

1. 確認兩個矩陣相乘時是否符合維度要求，即第一個矩陣的列數必須等於第二個矩陣的行數。
2. 從第一個矩陣中選取一行，從第二個矩陣中選取一列，將兩者對應位置的數字相乘，得到新的矩陣中的一個元素。
3. 重複步驟2，直到得到新矩陣的所有元素。

例如，若有以下兩個矩陣：

矩陣A:
[ 1, 2 ]
[ 3, 4 ]

矩陣B:
[ 5, 6 ]
[ 7, 8 ]

則 A 與 B 的乘積可表示為：
[ 15 + 27, 16 + 28 ]
[ 35 + 47, 36 + 48 ]

即：
[ 19, 22 ]
[ 43, 50 ]

彙總重點

1. 矩陣乘法是線性代數中的基本運算，用於將兩個矩陣相乘得到一個新的矩陣。
2. 矩陣乘法必須滿足兩個矩陣的維度匹配：左矩陣的列數等於右矩陣的行數。
3. 矩陣乘法的結果矩陣的行數等於左矩陣的行數，列數等於右矩陣的列數。
4. 矩陣乘法的運算次序不可交換，即 AB≠BA。
5. 矩陣乘法適用於許多應用場景，如圖像處理、機器學習、網絡分析等。

知識測驗

1. 矩陣A的大小為20x30，矩陣B的大小為30x40，試求A和B的乘積。
   答案：矩陣C的大小為20x40。

2. 矩陣A的大小為3x3，矩陣B的大小為3x2，試求A和B的乘積。
   答案：矩陣C的大小為3x2。

3. 矩陣A的大小為5x5，矩陣B的大小為5x5，試求矩陣A和B的平方。
   答案：矩陣C的大小為5x5。

4. 矩陣A的大小為4x3，矩陣B的大小為3x2，試求A和B的乘積。
   答案：矩陣C的大小為4x2。

5. 矩陣A的大小為2x4，矩陣B的大小為4x6，試求A和B的乘積。
   答案：矩陣C的大小為2x6。