在線凸優化

習題預習

1. 如何在Online Convex Optimization中平衡風險和回報？
2. 如何在Online Convex Optimization中有效地解決高維數據問題？
3. 如何設計高效算法來優化Online Convex Optimization中的目標函數？
4. 如何處理Online Convex Optimization中的噪聲數據和異常值？
5. 如何在較短的時間內實現Online Convex Optimization的收斂？

說明知識

Online Convex Optimization (OCO) 是一種最佳化方法，主要用於解決資料流進來時需要即時作出決策的問題。這種方法通常用在動態環境下的應用中，例如網路廣告投放、智慧家居控制和機器人路徑規劃等。

在 OCO 中，我們試圖最小化一個訓練目標函數的值，這個函數包括當前時間步的損失和上一時間步的解。然而，當新的數據流進來時，我們需要在不斷更新的數據中進行最佳決策。因此，我們需要使用一些演算法來處理這些挑戰。

最常用的 OCO 演算法之一是隨機梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）。SGD 能夠通過更新參數來最小化損失函數，以適應新的數據流。

例如，假設我們要以 OCO 方法來解決在線廣告投放的問題。當有新的用戶訪問時，系統需要決定向該用戶展示哪個廣告來最大化收益。使用 OCO 模型，系統能夠學習並基於上一次展示廣告的成果來做出更好的決策。通過SGD，系統可以自動更新其簡單的投放策略，以使其收益最大化。

彙總重點

1. 在online convex optimization中，目標是最小化目標函數的平均值，其中目標函數由一系列損失函數組成。

2. 在每一個時刻，線性預測器被用來進行預測，然後依據實際數據進行調整。

3. 此外，施加條件限制可以幫助改進收斂速度。

4. 機器學習中常用的支持向量機模型就是基於online convex optimization的算法之一。

5. 選擇不同的損失函數可以使得算法適用於不同的問題，例如線性回歸、分類、排序等。

6. 選擇適當的學習率可以改善算法的收斂速度和準確性。

7. 不斷適應新數據的能力使得online convex optimization適合處理大數據問題。

8. 最終的模型應該基於所有過去數據的平均值，而不是只依賴最新的一個數據點。

知識測驗

1. 在Online Convex Optimization的框架下考虑线性回归问题，若目标函数为$w\in W\mapsto \sum_{i=1}^n(w\cdot x_i-y_i)^2$，其中$x_i\in R^d,y_i\in R$，请问所采用的算法应该是哪种？

答案：梯度下降法。

2. 在Online Convex Optimization的框架下考虑逻辑回归问题，若目标函数为$w\in W\mapsto \sum_{i=1}^n\log(1+e^{-y_iw\cdot x_i})$，其中$x_i\in R^d,y_i\in {-1,1}$，请问所采用的算法应该是哪种？

答案：随机梯度下降法。

3. 在Online Convex Optimization的框架下考虑最小化加权分类误差问题，若目标函数为$w\in W\mapsto \sum_{i=1}^n\varphi(\langle w,x_i\rangle,y_i)$，其中$\varphi:\mathbb{R}\times {-1,1}\rightarrow \mathbb{R}$为下凸函数，$x_i\in R^d,y_i\in {-1,1}$且有相应的权重$w_i$，请给出一个求解该问题的随机算法并进行推导。

答案：Stochastic Subgradient Descent (SSGD)。算法流程：

1. 初始化$\theta_1$为0。

2. 对于$t=2,\ldots,T$：
   a. 选择一个样本$(x_i,y_i)$，计算梯度下降方向$g_t$
   $$g_t=\theta_t’-w_i\nabla_1\varphi(\langle \theta_t,x_i\rangle,y_i)x_i$$
   b. 更新$\theta_t$
   $$\theta_{t+1}=\frac{1}{\sqrt{t}}\sum_{i=1}^tg_i$$
   其中$\theta_t’$为$\theta_t$的一个随机修正，用来解决部分精度梯度问题。

3. 在Online Convex Optimization的框架下考虑最小化$L_1$正则化的线性回归问题，若目标函数为$w\in W\mapsto \sum_{i=1}^n(w\cdot x_i-y_i)^2+\lambda \Vert w\Vert_1$，其中$x_i\in R^d,y_i\in R$，请问所采用的算法应该是哪种？

答案：Subgradient Descent。

5. 在Online Convex Optimization的框架下考虑最小化Huber损失函数的线性回归问题，若目标函数为$w\in W\mapsto \sum_{i=1}^n\varphi(w\cdot x_i-y_i)$，其中$\varphi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$为下凸函数，并且$\varphi(z)=z^2/2$，当$|z|\leq \delta$，且$\varphi(z)=\delta|z|-\delta^2/2$，当$|z|>\delta$，请问所采用的算法应该是哪种？

答案：Subgradient Descent。