隨機算法

習題預習

1. 對於一個有向圖，如何用randomized算法找到一條最短路徑？
2. 在一個有$n$個元素的無序列表中，如何使用randomized算法在$O(\log n)$時間內找到一個元素的排名？
3. 如何使用randomized算法找到一個未知數的二元一次方程（$ax+by=c$）的解?
4. 變量$X$是一個介於$[0,1]$之間的隨機數，如何使用randomized算法生成一個均勻分佈的自然數$k$，使$X$能夠均勻地被分為$k$個區間？
5. 在一個完全二叉樹中，如何使用randomized算法找到一個節點的深度？

說明知識

隨機化演算法（Randomized Algorithms）是利用隨機變量作為輸入或內部挑選，通過隨機機制來解決問題的演算法。與傳統的演算法相比，隨機化演算法通常具有更快的執行時間和更好的效果。

以下是一些隨機化演算法的例子：

1. 快速排序（QuickSort）：快速排序是一種常見的排序算法，通常使用隨機選擇pivot的方式將數列分割成更小的片段，進一步進行快速排序。這樣能夠使排序更加均衡和高效，避免了最壞情況下的時間複雜度。

2. 隨機選擇算法（Randomized Selection）：隨機選擇算法是在無序數列中挑選第k小（或第k大）的元素，使用隨機選擇pivot的方式分割數列，進行遞歸比較，直到找到目標元素。這種算法在選擇數據中的某一部分時極其有效。

3. 集合蓋問題算法（Set Cover Problem）：集合蓋問題是在一定條件下，尋找最少的覆蓋物來覆蓋所有元素的問題。隨機化演算法可以通過隨機生成較少的子集，從而減少比較的次數，實現更快的計算和更好的結果。

以上是一些隨機化演算法的例子，但隨機化演算法的應用非常廣泛，可用於最優化問題、圖形測試、機器學習等領域。

彙總重點

1. 隨機化：Randomized Algorithms使用隨機元素，例如隨機數、亂數選擇等，來使得算法得到更好的表現。

2. 機率分析：Randomized Algorithms在分析運行時間等結果時，考慮的是機率分析，而非確定性分析，通常會使用期望值等概率量度。

3. 隨機搜尋：Randomized Algorithms通常使用隨機搜尋的方式找到解決問題的最優解，例如隨機選擇點、隨機排序等。

4. 可靠性：Randomized Algorithms往往可以提供較高的可靠性，例如隨機搜尋算法可以避免落入局部最優解的情況。

5. 優化：Randomized Algorithms可以優化算法的表現，例如快速排序算法中的隨機選擇主元素可以提高算法的效率。

6. 應用廣泛：Randomized Algorithms廣泛應用於各種領域，例如圖形算法、最優化算法、通訊協議等。

知識測驗

1. 什麼是Monte Carlo算法？請舉個例子。

答案：Monte Carlo算法是一種概率算法，根據隨機選擇的樣本來進行求解。例如，一個Monte Carlo算法可以被用來近似計算圓周率。

2. 什麼是Las Vegas算法？請舉個例子。

答案：Las Vegas算法和Monte Carlo算法相似，但是它保證算法的結果是正確的，只是時間或空間複雜度可能有所浪費。例如， QuickSort是一個經典的 Las Vegas算法。

3. 快速冪算法是什麼？請描述其時間複雜度。

答案：快速冪算法是一種用於計算數字的冪次方的算法。 它通過二進制位運算達到了O(log n)的時間複雜度。

4. 定義一個概率分佈，用於產生在[0,1]範圍內均勻分佈的隨機實數。

答案：使用標準均勻分佈產生隨機實數。這意味著我們從[0,1]中的每個可能值選取一個隨機數。

5. 定義一個概率分佈，用於產生負二項分佈的隨機變量。

答案：產生負二項分佈的隨機變量的概率分佈是：$P(X=k)= {{k+r-1} \choose {k}} p^k (1-p)^r$，其中，k是需要得到的特定數量的成功，p是每次試驗成功的概率，r是必須進行的試驗的總次數。