Boyer-Moore演算法

習題預習

1. 請簡述Boyer-Moore Algorithm的運作原理。
2. Boyer-Moore Algorithm是否只適用於精確匹配？為什麼？
3. Boyer-Moore Algorithm使用了哪些數據結構？為什麼這些數據結構有效地提高了算法效率？
4. Boyer-Moore Algorithm可以用於哪些應用場景？請給出一個具體的例子。
5. Boyer-Moore Algorithm的時間複雜度是多少？是否存在改進的方法？

說明知識

Boyer-Moore算法是一種高效的字符串匹配算法。該算法的核心思想是在匹配的過程中盡可能減少重複比較的次數，跳過不可能匹配的部分，從而提高匹配的效率。

Boyer-Moore算法分為兩個階段：預處理和匹配。在預處理階段，算法會構建兩個不同的表格：壞字符表和好後綴表。這些表格會被用於在匹配階段中判斷模式串和文本串的匹配位置。

在匹配階段中，算法會從模式串的末尾開始，逐個比較模式串和文本串的字符。如果發現某個字符不匹配，那麼就獲取壞字符表和好後綴表中的信息，跳過一些不可能匹配的位置，繼續進行匹配，直到找到完全匹配的位置或者匹配失敗。

舉個例子，假設我們要在文本串 “ABC ABCDAB ABCDABCDABDE” 中查找模式串 “ABCDABD”，則該算法的匹配過程如下：

1. 預處理階段

構建壞字符表：

構建好後綴表：

2. 匹配階段

從模式串的末尾開始比較，發現 “D” 不匹配，從壞字符表中取出 “D” 對應的位置為 0，移動模式串使得 “D” 對應的位置和文本串中的字符對齊，即移動 6 - 0 = 6 個位置。

接下來比較 “B” 和 “E”，發現不匹配，從壞字符表中取出 “E” 對應的位置為 -1，表示不存在，則 “B” 可以與文本串中的下一個字符對齊，即向右移動 1 個位置。

接著繼續比較，發現 “A” 不匹配，從好後綴表中找到最長的可以和模式串匹配的後綴為 “ABD”，將模式串右移 4 個位置。

在比較 “C” 和 “C” 時，發現匹配成功。匹配完成後，算法會繼續從模式串末尾開始比較，直到匹配失敗或者找到全部匹配位置。

彙總重點

1. Boyer-Moore Algorithm 是一種最有效的字串匹配演算法之一，它主要的優點在於它可以在最壞情況下以線性時間的方式進行匹配。

2. Boyer-Moore Algorithm的核心概念是利用「壞字符規則」和「好後綴規則」來避免無用的比對，快速地找到匹配的位置。

3. 「壞字符規則」指的是當匹配失敗時，根據主字串中的字符是否與模式字串匹配，將模式字串向後移動一定的距離，從而節省比對的時間。

4. 「好後綴規則」則是在匹配失敗時，尋找模式字串中與主字串已匹配的後綴相匹配的前綴，進行移動，從而避免重複匹配。

5. Boyer-Moore Algorithm的實現需要對模式字串進行預處理，以建立相應的規則表，進而實現高效的匹配。

6. Boyer-Moore Algorithm常被用於搜尋引擎、文字處理、編輯器和資料庫等領域，尤其是在處理大量的文本資料時，效能更加突出。

知識測驗

1. 說明Boyer-Moore Algorithm的運作原理。
   答案：Boyer-Moore Algorithm是一種基於字串比較的字串匹配算法。它採用了兩種啟髮式策略：好後綴和壞字符。好後綴指的是在模式串中，從右往左第i個位置後的子串與模式串中的某個後綴匹配。壞字符指的是在模式串中，從右往左第i個位置的字符在文本串中出現的位置。Boyer-Moore Algorithm是按照模式串的右端對齊文本串來搜索的，當出現不匹配的字符時，它會利用好後綴和壞字符的啟髮式策略進行移動，從而避免對已經比較過的字符進行重複比較。

2. 給定一個文本串T和一個模式串P，請使用Boyer-Moore Algorithm查找P在T中的出現位置。
   答案：使用Boyer-Moore Algorithm可以實現以下代碼：

def boyer_moore(pattern, text):
m = len(pattern)
n = len(text)
if m > n:
return -1
bad_char = make_bad_char_table(pattern)
good_suffix = make_good_suffix_table(pattern)
i = m - 1
j = m - 1
while i < n:
if pattern[j] == text[i]:
if j == 0:
return i
i -= 1
j -= 1
else:
bad_char_move = bad_char.get(text[i], -1)
good_suffix_move = good_suffix[j]
i += max(bad_char_move, good_suffix_move)
j = m - 1
return -1

3. Boyer-Moore Algorithm的時間複雜度是多少？為什麼？
   答案：Boyer-Moore Algorithm的最壞時間複雜度是O(m*n)，其中m和n分別是模式串和文本串的長度。這是因為在最壞情況下，每次匹配失敗時，bad_char和good_suffix的移動量都是m，因此需要逐一比較每一個位置。但是在一般情況下，Boyer-Moore Algorithm的平均時間複雜度是O(n/m)，這是因為可以通過好後綴和壞字符的啟髮式策略，跳過很多不必要的比較。

4. Boyer-Moore Algorithm針對什麼樣的問題效果最好？
   答案：Boyer-Moore Algorithm針對模式串較長的問題效果最好，因為在這種情況下，好後綴和壞字符的啟髮式策略可以更容易地跳過不必要的比較，從而提高搜索效率。此外，如果文本串中存在重複的字符，Boyer-Moore Algorithm也可以更好地利用bad_char表來提高效率。

5. Boyer-Moore Algorithm可以用來解決什麼樣的問題？
   答案：Boyer-Moore Algorithm可以用來解決字符串匹配的問題，例如從一個文本串中查找一個模式串的出現位置。Boyer-Moore Algorithm的時間複雜度比傳統的字符串匹配算法更低，因此可以在大型文本串中進行高效的搜索。