最長上升子序列

習題預習

User ask:
給我5題Longest Increasing Subsequence的中文問題

ChatGPT answer:

  1. 給定一個整數序列，求其中最長的遞增子序列的長度是多少？

  2. 給定一個由字母組成的字符串，求其中最長的遞增子序列的長度是多少？

  3. 給定一個浮點數序列，求其中最長的遞增子序列的和是多少？

  4. 給定一個二維整數矩陣，求其中最長的遞增子序列的和是多少？

  5. 給定一個由整數構成的有向圖，求其中最長的遞增子序列的長度是多少？

說明知識

User ask:
以中文說明Longest Increasing Subsequence並舉例

ChatGPT answer:

Longest Increasing Subsequence（最長上升子序列）是指在一個序列中找到一個子序列，使得該子序列中的元素依次遞增，且該子序列的長度最長。例如，序列 [3, 5, 2, 7, 1, 4, 8] 的最長上升子序列為 [3, 5, 7, 8]。

求最長上升子序列的常見方法是使用動態規劃，以下為一個簡單的動態規划算法：

  1. 創建一個長度為n的數組dp，其中dp[i]表示以第i個元素為結尾的最長上升子序列的長度。
  2. 初始化dp數組為1，因為每個元素本身就是一個最長上升子序列。
  3. 遍歷序列中的所有元素，對於每個元素i，從第一個元素到i-1元素中找到比i小的元素j，且dp[j]+1大於dp[i]，則更新dp[i]為dp[j]+1。
  4. 最後遍歷dp數組，找到最大的dp[i]，即為該序列的最長上升子序列的長度。

例如，對於序列 [3, 5, 2, 7, 1, 4, 8]，可以使用上述算法求解最長上升子序列。具體步驟如下：

  1. 創建一個長度為7的dp數組，初始化所有元素為1。
  2. 對於第一個元素3，dp[0]為1。
  3. 對於第二個元素5，dp[1]為2。
  4. 對於第三個元素2，找不到比它小的元素，dp[2]仍然為1。
  5. 對於第四個元素7，dp[3]為3。
  6. 對於第五個元素1，找不到比它小的元素，dp[4]仍然為1。
  7. 對於第六個元素4，找到比它小的元素3，且dp[3]+1大於dp[5]，因此更新dp[5]為4。
  8. 對於第七個元素8，找到比它小的元素7，且dp[3]+1大於dp[6]，因此更新dp[6]為4。
  9. 最後遍歷dp數組，找到最大的元素為4，因此該序列的最長上升子序列為 [3, 5, 7, 8]，長度為4。

彙總重點

User ask:
以中文條列Longest Increasing Subsequence的重點

ChatGPT answer:

  1. 定義：Longest Increasing Subsequence（LIS）指數列中最長的遞增子序列。例如，對於數列{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5}，其LIS為{1, 2, 5, 6, 9}，長度為5。

  2. LIS的求解方法：常用的求解LIS的方法有暴力搜索、動態規劃、貪心、二分查找等。

  3. 動態規劃法：將LIS的求解問題分解成子問題，使用動態規劃求解，時間複雜度為O(n^2)。

  4. 貪心法：通過選擇適當的元素構造LIS，時間複雜度為O(nlogn)。

  5. 二分查找法：通過維護一個升序序列，並不斷更新，來求解LIS，時間複雜度為O(nlogn)。

  6. 應用：LIS問題廣泛應用於各種實際問題中，如最長上升子序列、最長下降子序列、最長不下降子序列等。

知識測驗

User ask:
以中文給我5題Longest Increasing Subsequence的中等難度問題，並在後面列出答案

ChatGPT answer:

  1. LeetCode 300 - Longest Increasing Subsequence
    給定一個未排序的整數數組，找到最長遞增子序列的長度。
    例如：
    Input：[10,9,2,5,3,7,101,18]
    Output：4
    Explanation：
    最長的遞增子序列是 [2,3,7,101]，因此長度為 4。

  2. GeeksforGeeks - Longest Increasing Subsequence
    給定一個整數數列，找到其中的最長遞增子序列。
    例如：
    Input：[3, 10, 2, 1, 20]
    Output：3
    Explanation：
    最長的遞增子序列是 [3, 10, 20]，因此長度為 3。

  3. SPOJ - Increasing Subsequences
    給定一個整數數列，找出有多少個子序列是遞增的。
    例如：
    Input：[5,2,8,6,3,6,9,7]
    Output：8
    Explanation：
    遞增子序列分別為 [5], [2], [8], [6], [3], [6], [9], [7]。

  4. CodeChef - LISAND - Longest Increasing Subsequence and Non-decreasing Array
    給定一個整數數列，找到其中的最長遞增子序列的長度，同時也需要找到能夠使數列變成非遞減的最少操作次數。
    例如：
    Input：[2, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 3]
    Output：2 3
    Explanation：
    最長的遞增子序列是 [2, 3]，長度為 2。最少需要執行 3 次操作才能使數列變成非遞減的：將第 4, 5, 6 個數變成 2。

  5. Hackerrank - The Longest Increasing Subsequence of an Array
    給定一個整數數列，找到其中的最長遞增子序列，同時需要找到所有符合該要求的最長子序列中，字典序最小的那個。
    例如：
    Input：[0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9]
    Output：[0, 4, 6, 9, 14]
    Explanation：
    最長的遞增子序列是 [0, 2, 6, 9, 14] 和 [0, 4, 6, 9, 14]，但是前者字典序比後者大，因此輸出後者。