時間複雜度分析

習題預習

1. 什麼是時間複雜度分析，為什麼它在編程中非常重要？
2. 如何估計給定算法的時間複雜度？列舉一些可用的方法。
3. 如果有一個算法的時間複雜度為O(n)，這意味著什麼？如果有一個算法的時間複雜度為O(n^2)，這意味著什麼？
4. 如果有一個算法的時間複雜度為O(log n)，在大數據的環境下有什麼優勢？
5. 如何進行最壞時間複雜度分析？它如何幫助我們更好地瞭解算法的運行情況？

說明知識

Time complexity analysis是指在算法運行過程中，計算算法執行時間的方法。它是評估算法效率和性能的一種重要方法。時間複雜度通常以大O符號表示，是根據算法所耗費的時間和輸入規模n的增長率之間的關係來確定的。

例如，對於一個簡單的排序算法（如冒泡排序），當n個元素需要排序時，它的時間複雜度為O(n^2)。這意味著當輸入規模n增加時，算法的執行時間將呈現出平方級別的增長。如果輸入規模是100，則算法的執行時間為10,000步。但是，當輸入規模增加到1，000時，算法的執行時間將增加到1,000,000步，這是非常低效的。

另一個例子是查找算法中的二分查找。二分查找需要將輸入序列劃分為較小的子序列，並在每次迭代中比較目標值與當前中間元素的大小。它的時間複雜度為O(log n)，這意味著對數級別的增長。隨著輸入規模不斷增加，算法的執行時間以對數的方式增加，這使得二分查找成為一種高效的查找算法。

因此，時間複雜度分析可以幫助我們確定算法的效率和性能，並選擇最合適的算法來解決特定問題。

彙總重點

1. 識別運算量：分析程式碼的每個運算和連接操作。例如，算術操作、邏輯操作和比較操作等。
2. 確定操作頻率：分析程式碼中運算的頻率，可以是單獨的操作，也可以是一連串的操作，如循環等。
3. 計算時間複雜度：根據操作頻率和運算量來計算時間複雜度。最壞的情況下時間複雜度是一個函數，它反映了算法擴展的複雜度。
4. 識別瓶頸：識別算法中的瓶頸，即影響 程式碼 性能的主要因素。
5. 尋找優化方法：尋找有效的算法和數據結構來優化程式碼，以提高性能和效率。

知識測驗

1. 給定一個未排序的整數數組，找到連續子數組的最大乘積。例如，數組[2,3,-2,4]的最大乘積為6，因為2和3相乘得到6。

Answer: 該問題的時間複雜度為 O(n),其中n是數組中元素的數量。可以使用動態編程來解決這個問題，需要遍歷整個數組，計算每個位置的最大乘積和最小乘積，然後比較它們的大小。

2.給定一個字符串，判斷它是否可以被分割成一些相同的子字符串。例如，“abcabcabc"可以分割成"abc”、“abc"和"abc"三個子字符串。

Answer: 該問題的時間複雜度為 O(n^2),其中n是字符串的長度。可以使用動態編程來解決這個問題，需要遍歷每個子字符串的長度，然後計算它們是否和原始字符串相等。

3.給定一個排序的整數數組和一個目標數字，找到數組中兩個數字的和等於目標數字。例如，數組[2,7,11,15] 和目標數字9，故答案為[0,1]。

Answer: 該問題的時間複雜度為 O(n)，其中n是數組中元素的數量。可以使用哈希表來解決這個問題，需要遍歷整個數組，在每次遍歷的過程中，進行哈希查找，以快速找到數組中另一個數字是否等於目標數字減去當前數字。

4.給定一個整數數組和一個整數k，找到數組中所有元素相加等於k的連續子數組。例如，數組[1,2,3,4]和k=6，它的連續子數組為[1,2,3]和[2,4]。

Answer: 該問題的時間複雜度為 O(n)，其中n是數組中元素的數量。可以使用哈希表來解決這個問題，需要遍歷整個數組，在遍歷過程中，將當前元素加入總和中，然後在哈希表中查找總和減去k的結果是否在哈希表中存在，如果存在則找到一個解。

5.給定一個二叉樹，找到最長的同質值的路徑。在這個路徑上，所有節點的值都相同。例如，下面這棵樹的最長同質值的路徑長度為4：

Answer: 該問題的時間複雜度為 O(n)，其中n是二叉樹中節點的數量。需要使用遞歸遍歷二叉樹，在遍歷過程中，計算當前節點的同質值路徑長度，並比較它與已經找到的最大值，最後返回最大值即可。