數據結構

習題預習

1. 簡述什麼是樹狀數據結構，以及它有何用途？
2. 如何實現一個堆疊資料結構，並描述它的基本操作？
3. 詳細解釋哈希表的概念和用途，並說明如何解決哈希碰撞的問題？
4. 說明何謂圖形數據結構，其類型、用途、應用領域等相關內容。
5. 解釋什麼是鏈表和數組，並在兩者之間進行比較。提供具體的使用案例。

說明知識

資料結構(Data Structure)是指在電腦中儲存和組織數據的方式，以便於處理和使用。它通常可以分為兩種：基本資料結構和高級資料結構。

基本資料結構包括以下幾種：

1. Array(陣列)：一種線性的資料結構，儲存一連串相同型別的元素，透過索引來存取。
2. Stack(堆疊)：一種LIFO(Last In First Out，後進先出)的資料結構，支持兩個操作：push(推入)和pop(彈出)。
3. Queue(佇列)：一種FIFO(First In First Out，先進先出)的資料結構，支持兩個操作：enqueue(加入佇列)和dequeue(彈出佇列)。
4. Linked list(鏈結串列)：一種非線性的資料結構，由一個個節點(node)組成，每個節點包括資料和指向下一個節點的指針。

高級資料結構包括以下幾種：

1. Tree(樹狀結構)：一種非線性的資料結構，由一個個節點(node)組成，每個節點包括資料和指向子節點的指針，可以分為二叉樹、平衡樹等。
2. Graph(圖狀結構)：一種由節點(node)和邊(edge)組成的非線性資料結構，可以用來表示各種實際場景。
3. Heap(堆)：一種樹狀結構的資料結構，有最大堆和最小堆兩種，通常用於實現優先佇列。
4. Hash Table(雜湊表)：一種通過哈希函數將索引映射到數組中位置的資料結構，用於高效的查詢和插入操作。

舉例來說，如果想要存儲一組學生的姓名和分數，可以使用陣列(Array)來實現，每個學生對應陣列中的一個位置，可以使用索引來訪問它的姓名和分數。如果想要實現一個簡單的計算器，可以使用堆疊(Stack)作為輸入的緩衝區，每次輸入一個數字或運算符時，將其壓入堆疊中，當需要計算時，依次彈出堆疊中的元素進行運算。 如果需要表示一個城市的交通網絡，可以使用圖狀結構(Graph)，節點表示城市，邊表示兩個城市之間的道路，可以找到最短路徑或計算最小生成樹。

彙總重點

1. 儲存和操作資料的方法：Data Structure 包含了一些可以儲存和操作資料的方法，例如： Array、Linked List、Stack、Queue、Tree、Graph 和 Hash Table 等，這些方法可以讓我們更有效地存取和處理資料。

2. 時間和空間複雜度：儲存和操作資料的方法也需要考慮它們的時間和空間複雜度，例如：有些資料結構可能需要多次訪問或搜索數據，那麼我們可能需要使用更高效的資料結構，以達到更好的效能。

3. 廣泛應用： Data Structure 被廣泛應用於計算機科學和其他領域，例如：數據庫、機器學習、人工智能、圖形學等。

4. 抽象數據類型：Data Structure 可以被看作是抽象數據類型，這些抽象數據類型提供了一種描述數據的方法，以及對數據進行操作的界面，而不依賴於具體的實現細節。

5. 實踐經驗： Data Structure 的適當選擇可以通過經驗和實踐獲得，而不同的應用場景可能需要不同的數據結構和算法。

知識測驗

1. 面試中經常出現的問題是，如何實現一個栈，其中除了常規操作（push，pop）外還包含另一個操作min，可以在常數時間複雜度下返回栈中的最小元素。該算法如何實現？

答案：

可以使用兩個堆棧：一個用於存儲值，另一個用於存儲最小值。在每次推入新元素時，都需要更新最小值堆棧。最小值堆棧中的每個元素都是與主堆棧相應位置的最小值，這就使得查找最小值變得非常容易且簡單。

2. 給出一個包含n個整數的數組，其中每個元素都表示你可以向前或向後跳躍的最大步數，請找到數組最少可以跳躍幾次到達最後一個元素。

例如，給定數組[2,3,1,1,4]，最少跳躍2次可以到達最後一個位置。

答案：

這個問題可以用貪心算法解決。我們從左到右滑動，根據當前位置和當前的可用步數，選擇最佳跳躍位置。我們不斷地重複這個過程，直到達到最後一個位置。這種算法的時間複雜度為O(nlogn)。

3. 實現一個LRU緩存，它可以在常數時間內執行get和put操作。當緩存容量達到上限時，最近最少使用的元素應該被移除。

答案：

實現LRU緩存所需要的基本數據結構是哈希表和雙向鏈表。在緩存中，哈希表可以根據鍵查找值，而雙向鏈表可以根據每個元素的使用情況來將它們排序。為了實現LRU操作，當某個元素被使用時，必須將它移動到鏈表的最前面。在插入新元素時，如果緩存大小超過限制，則將最久未使用的元素移除。這可以通過維護一個指向鏈表尾部的指針來實現。

4. 給定一個n x n的矩陣，其元素均為0或1。請計算其中最大的正方形的面積，其元素均為1。

例如：

1101
1101
1111
0111

在這個矩陣中，最大的正方形面積為9。

答案：

使用動態規劃法解決這個問題。維護一個n x n的數組，其中cell[i][j]存儲最大正方形邊長，以cell[i-1][j]，cell[i][j-1]和cell[i-1][j-1]作為優化目標依次檢查每個元素。如果元素(cell[i][j])為1，則檢查相鄰的元素，並計算能夠擴展到的最大正方形的邊長。如果該值大於cell[i][j]，則更新cell[i][j]的值。

5. 給定一個字符串s，請找出最長的子串t，該子串中每個字符都出現至少k次，k是一個給定的正整數。例如，如果s = “ababbc”，k = 2，那麼"ababb"是一個合法的子串。

答案：

這是一個基於分治和哈希的算法。該算法可以使用分治法，將字符串分成多個子串，該問題可以進一步細分為子問題。可以使用另一個函數，計算在一個字串中每個字符的出現次數。最終，可以通過在查找過程中檢查每個子串來找到最長的合法子串。