B樹

習題預習

1. 什麼是B-Tree？請解釋其特性和優缺點。
2. 如何從一個B-Tree中刪除一個關鍵字？請說明刪除過程。
3. 如何向一個B-Tree中插入一個新關鍵字？請說明插入過程。
4. B-Tree和B+Tree的區別是什麼？
5. 如何從一個B-Tree中查找一個關鍵字？給出具體的查找過程。

說明知識

B-Tree是一種平衡樹，用於在大量數據的情況下高效地存儲和查找數據。每個節點可以存儲多個鍵值對，這些鍵值對按順序排序並以平衡的方式分佈在整個樹中。

B-Tree的特點是節點的分支數目比其他平衡樹的分支數目更高，通常每個節點都有很多子節點，這是為了減少查找所需的步驟。B-Tree常用於資料庫系統中，因為它可以快速查找大量數據。

舉例來說，假設有一個B-Tree用於存儲學生的成績信息。每個節點可以存儲多個學生的成績，每個鍵值對表示一個學生的姓名和成績。假設B-Tree的每個節點最多可以存儲4個學生的成績，並且按照字母順序來排序。當我們需要查找某一位學生的成績時，只需要從樹的根節點開始進行查找，每次都可以排除掉一半節點，直到找到該學生的鍵值對。由於節點的分支數量較高，因此查找時間相對較短。

彙總重點

1. B-Tree是一種自平衡的多路搜尋樹，其每個節點可以存儲多個鍵值對。

2. B-Tree通常用於大型關聯式資料庫管理系統中的索引結構，可以快速地進行插入、查找和刪除操作。

3. B-Tree有一些重要的參數，例如節點的最小度數、鍵值對的最大數量等，這些參數可能會影響B-Tree的性能。

4. B-Tree中的節點通常包括指向子節點的指標和與鍵值對相關聯的數據，這些數據有助於實現B-Tree的基本操作。

5. B-Tree的平衡性保證了在任何時候，所有節點的高度都不會超過一個固定的值，並且維持了快速查找的能力。

6. B-Tree的操作通常包括搜索、插入和刪除操作，B-Tree的搜索操作只需經過短暫的搜尋即可找到鍵值對。

7. B-Tree可以處理重複的鍵值對，這是其他樹型結構無法處理的，B-Tree的這個特性使得它在關聯式資料庫中被廣泛使用。

8. B-Tree的實現可以使用各種不同的演算法和數據結構，例如紅黑樹和AVL樹等，這些演算法和數據結構也可以用於優化B-Tree的性能。

知識測驗

1. 在一棵5度B-Tree中，已經插入了以下鍵值(2,4,6,8,12,14,16,18,20,22,24)。請問插入鍵值10後，B-Tree的結構如何變化？

答案：插入鍵值10後會形成一個新的節點，並將其插入到4和6之間，如下圖：

    (12)
 /   |   \

(4) (8) (10) (14)
/ | \ | \ | \ |
(2)(3)(5)(6)(7)(9)(11)(16)(18)(20)(22)(24)

2. 在一棵3度B-Tree中，已經插入了以下鍵值(1,3,6,8,9,12,14,15,16)。請問從中刪除鍵值6後，B-Tree的結構如何變化？

答案：刪除鍵值6後，需要先找到其對應的節點，然後將其刪除並重新平衡B-Tree，如下圖：

    (9,15)
 /    |    \

(3) (8) (12,14) (16)
/ \ | / |
(1) (2) (4)(5) (7)(10)(11)(13)

3. 假設在一棵4度B-Tree中，已經插入了以下鍵值(4,8,10,12,15,20,28,30,34,38,50)。請問在B-Tree中查找鍵值28的過程中，需要經過幾個節點？

答案：在4度B-Tree中查找鍵值28的過程中，需要經過3個節點，如下圖：

    (12,30)
 /    |     |    \

(4,8) (10) (15,20) (28,34,38,50)

4. 在一棵2度B-Tree中，已經插入了以下鍵值(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)。請問如果將鍵值9和11都刪除，B-Tree的結構如何變化？

答案：刪除鍵值9和11後，需要重新平衡B-Tree，如下圖：

   (7,13)
 /     |   \

(1,3,5)(15,17,19)

5. 在一棵5度B-Tree中，已經插入了以下鍵值(3,5,8,9,10,11,12,14,15,16,17,20)。請問插入鍵值18後，B-Tree的結構如何變化？

答案：插入鍵值18後會形成一個新的節點，並將其插入到15和20之間，如下圖：

    (11,15)
 /    |     |    \

(3,5,8,9,10)(12,14)(16,17)(18,20)